Построить треугольник по трем его медианам

[Sasha2]

Вот есть такая задача.
Построить треугольник по трем его медианам.
Я ее решил так.
1) Сперва зададимся произвольной точкой $M$, в которой эти три медианы пересекаются.
2) Проведем в треугольнике $ABC$ три медианы $AD, BE, CF$.
3) Медиану $CF$ продолжим за точку $F$ на расстояние $MF$, проведя $FG=MF$.
Тогда треугольники $AFG$ и $MFB$ будут равны по двум сторонам и углу между ними.
Значит $BM=AG$, так как эти две стороны в двух данных треугольниках соответственные.
Осталось построить трегольник $AGM$ по трем сторонам $AM=\frac{2}{3}AD$, $MG=\frac{2}{3}CF$ и $AG=\frac{2}{3}ME$.
Тем самым мы получим следующее:
а) Вершину $A$ данного треугольника
б) Разделив сторону $MG$ пополам, мы еще получаем середину $F$ стороны $AB$.
Теперь уже тривиально строим и саму вершину $B$.
в) Естественно таким же тривиальным продолжением $AM$ за точку M на половину $AM$ получаем и середину $D$ стороны $BC$.
Дальше уже неинтересно.

Терзают в основном условия построения. Это возможность построения треугольника $AGM$ по трем сторонам, каждая из которых равна двум третям одной из данных медиан, что вообщем то эквивалентно тому же самому просто без двух третей.
Вопрос то вообщем то такой, неужели во всяком треугольнике отношение между медианыами такое же, как и между сторонами треуголльника. Ну в смысле , меньшая больше разности двух других, а большая меньше суммы двух других. Неужели так и есть?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #261080 писал(а):

Вопрос то вообщем то такой, неужели во всяком треугольнике отношение между медианыами такое же, как и между сторонами треуголльника. Ну в смысле , меньшая больше разности двух других, а большая меньше суммы двух других. Неужели так и есть?

Конечно. Пусть стороны треугольника представлены векторами $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$, направленными "циклически" (т.е. так, что $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$). Тогда медианы этого треугольника представляются векторами $\vec m={1\over2}(\vec a-\vec b)$, $\vec n={1\over2}(\vec b-\vec c)$ и $\vec k={1\over2}(\vec c-\vec a)$. Очевидно, что $\vec m+\vec n+\vec k=\vec 0$. Следовательно, из них можно составить треугольник, т.е. их длины удовлетворяют неравенствам треугольника.

Впрочем, и из картинки это легко увидеть. Просто сдвиньте одну из медиан параллельно самой себе так, чтобы её основание сошлось с вершиной другой медианы. И убедитесь в том, что и третью медиану можно параллельно сдвинуть так, чтобы её концы совпали со свободными концами двух первых. (Это, кстати, ещё один способ восстановления исходного треугольника -- надо провести эти построения в обратном порядке.)

[Sasha2]

Спасибо понял. Там тоже из равенства двух треугольников по двум сторонам и углу между ними, в конечном счете находим четырехугольник двумя соронами которого являются:
а) исходная третья медиана и отрезок, соединяющий середину одной из сторон, из которой выходит третья медиана с концом параллельно смещенной медианы. А две другие противоположные стороны оказываются одновременно равными и параллельными. Значит третью медиану можно сместить параллельно, ну как Вы указали и получить трегольник, построенный на трех медианах. Далее раскручиваем все в обратном порядке.

А вот у меня еще такой вопрос, я вот всегда избегаю пользоваться параллельными переносами, симметриями и так далее, если задача допускает решение и без них. Правилен ли такой подход? Короче, следует ли использовать геометрические преобразования только тогда, когда это абсолютно необходимо?

[ewert]

Не знаю. На мой взгляд, следует использовать всё, что подвернётся под руку -- до тех пор, пока начальство не потребует противного (ну очень противного).