Задачи на построение: теорема Мора - Маскерони

[Sasha2]

Вот относительно задач на построение меня интересует такой вопрос.
Когда в задаче указывается, что построить то-то и то-то при помощи циркуля и линейки, это следует понимать, как то, что данное построение должно быть выполнено за КОНЕЧНОЕ число прикладывания линейки и циркуля и проведения с их помощью отрезков, перенесения отрезков и проведения окружностей, или же число этих операций может быть и бесконечным?

[gris]

за бесконечное число шагов можно было бы построить любое число и решить все нерешаемые задачи. так что не думайте, что лазейку нашпи.

[Sasha2]

Нет - это не так. Я абсолютно не это имел в виду.

Поясню почему.
Например, есть такая теорема, которая гласит, что любое построение, выполняемое при помощи циркуля и линейки, может быть выполнено при помощи одного лишь циркуля.

Ну Вы сами понимает, что циркулем прямую линию не провведешь. Наверно имеется в виду то, что можно сколько угодно прикладывая циркуль найти все точки данной прямой.
И еще уж наверняка есть такие ззадачи, что сколько линейку или циркуль не прикладывай, а все равно не проведешь и бесконечное число тут не при чем.

[Cave]

Считается, что прямая построена, если известные две её точки.

[Sasha2]

Дело ведь не только в построении данной прямой, а еще и в нахождении точек ее пересечения с другими объектами, то есть в нахождении еще некоторых других точек, лежащих на данной прямой, а не только тех двух, через которые она проведена.

[EtCetera]

Sasha2

Sasha2 в сообщении #261022 писал(а):

Например, есть такая теорема, которая гласит, что любое построение, выполняемое при помощи циркуля и линейки, может быть выполнено при помощи одного лишь циркуля.

Ну Вы сами понимает, что циркулем прямую линию не проведешь. Наверно имеется в виду то, что можно сколько угодно прикладывая циркуль найти все точки данной прямой.

Нет, имеется в виду отнюдь не это. Эта теорема (Мора - Маскерони) доказывает лишь то, что с помощью только циркуля можно найти некоторые две точки искомой прямой (точки находятся как точки пересечения двух окружностей), ну а большего и не надо. Отрезки задаются двумя концами.
А потому эта теорема не имеет, по-видимому, никакого отношения к Вашему вопросу.

Sasha2 в сообщении #261022 писал(а):

И еще уж наверняка есть такие задачи, что сколько линейку или циркуль не прикладывай, а все равно не проведешь и бесконечное число тут не при чем.

Может быть и есть, но, по-моему, (и в этом я согласен с gris) большинство "нерешаемых" задач все-таки "решится". Ведь бесконечное количество шагов дает, по сути, возможность применения численных методов (аналогичных нахождению определенного интеграла методом трапеций и т.п.). Например, задача о трисекции угла будет решаться очень легко (с помощью бесконечного деления угла пополам и представлении $\frac{1}{3}$ в виде двоичной дроби).

[Sasha2]

Ну а вот еще поясните такой вопрос.
Решать не надо я сам буду.
Вот дословный текст задачи.
Построить параллелограмм по смежным сторонам и высоте.

Как следует понимать эту задачу. Я имею в виду, можно ли считать известным ту сторону, к которой проведена высота. Или в ответе следует указывать все параллелограммы, имеющие
1) Стороны a и b и высоту h, проведенную к стороне a.
2) Стороны a и b и высоту h, проведенную к стороне b.

[Cave]

Sasha2 в сообщении #261030 писал(а):

Дело ведь не только в построении данной прямой, а еще и в нахождении точек ее пересечения с другими объектами, то есть в нахождении еще некоторых других точек, лежащих на данной прямой, а не только тех двух, через которые она проведена.

В любой задаче на построение требуется построить конечное число конечных объектов. Они задаются точками в конечном числе, вот их-то одним циркулем и можно построить.

Sasha2 в сообщении #261046 писал(а):

Вот дословный текст задачи.
Построить параллелограмм по смежным сторонам и высоте.

Как следует понимать эту задачу. Я имею в виду, можно ли считать известным ту сторону, к которой проведена высота. Или в ответе следует указывать все параллелограммы, имеющие
1) Стороны a и b и высоту h, проведенную к стороне a.
2) Стороны a и b и высоту h, проведенную к стороне b.

Это неважно. Если возможны оба построения, то, очевидно, они производятся одинаково. В анализе задаче это можно учесть: можно расписать случаи, когда и сколько вариантов построения возможно (0, 1 или 2).

[Sasha2]

В том то и дело, что неодинаково.
Вот обоснование:
Если высота меньше двух сторон, то возможны два построения (точнее 2 пары равных попарно, но не равных между собой параллелограмма).
А если высота равна меньшей из сторон, то можно построить параллелограмм (пару равных) и прямоугольник.
Когда высота равна большей из сторон, можно построить только один прямоугольник.
Ну и, наконец, когда высота больше каждой из сторон, построение невозможно.

[BVR]

Sasha2
Дляэтого есть 4-й пункт - исследование. В этом пункте обычно анализурется соотношение между данными и количество решений в зависимости от этого.

-- Вс ноя 29, 2009 21:27:23 --