Плоскости и прямые. Задачи на доказательство.

[ИС]

А что если представить, что L - это множесто решений какой-то системы линейных однородных уравнений Ax= 0, а плоскость Н - множество решений не однородной системы уравнений Ax = b. Любое решение системы Ax = b получается из решения системы Ax = 0, прибавлением к нему частому решению системы Аx=b.
Действительно, если $p_i \in L $а $w_i \in H$, тогда A(p+w) = b. С другой стороны можно записать, что и $A(w_1 - w_2) = 0$, так как $Aw_1 = b $и $Aw_2 = b$ из этого следует, что для любых $w_1$ и $w_1$ из Н выполняется
$w_1 - w_2 \in L$

Теперь рассмотрим другое подпространство $\tilde L$, которое является решением какой-то другой системы линейный однородных уравнений $\tilde Ax = 0$ и плоскость $\tilde H$, которая является решениейм не однородной систему уравнений $\tilde Ax = \tilde b$. векторы $\tilde w_i \in \tilde H$, а векторы $\tilde p_i \in \tilde L$

Пусть теперь $H = \tilde H$. Т.е. $Aw = b$ и $\tilde Aw = \tilde b$, где w принадлежит $H$
Тогда очевидно получается, что $w_i - \tilde w_i \in L$ Действительно, $A(w_i - \tilde w_i) = 0$, так как $Aw_i = b$, а $A\tilde w_i = b$.
Аналогично можно показать, что $w_i - \tilde w_i \in \tilde L$.
Так как можно брать любые $\tilde w_i$ и $w_i$ из $H$, и будет выполняться
$w_i - \tilde w_i \in \tilde L$ и $w_i - \tilde w_i \in L$, то получается, что $L$ и $\tilde L$ состоит из одних и тех же элементов. А это означает, что $w_i - \tilde w_i $ принадлежит одному и тому же направляющему подпространству для плоскости Н.
А вот так ? Неужели опять не доказал ? (((

[TOTAL]

ИС в сообщении #260744 писал(а):

А вот так ? Неужели опять не доказал ?

Сформлируйте, что известно, что доказываете, обосновывайте свои утверждения.
Это последнее предупреждение, больше Ваши тексты, написанные непонятно зачем, читать не буду.

[ewert]

Хорошо. Давайте для затравки докажем всё-таки справа налево.

Пусть $L=\widetilde L$ и $x_0-\widetilde x_0\in L$. Надо доказать, что $H=\widetilde H$.

Утверждение $x\in H$ означает, что $x=u+x_0$, где $u\in L$ произвольно. Однако $x_0-\widetilde x_0$ тоже принадлежит $L$, поэтому $x$ может быть записан как $(u+x_0-\widetilde x_0)+\widetilde x_0\equiv v+\widetilde x_0$, где произвольным $u\in L$ отвечают произвольные $v=u+x_0-\widetilde x_0\in L$, причём по предположению $L=\widetilde L$. Следовательно: $H=\{u+x_0\}_{\forall u\in L}=\{v+\widetilde x_0\}_{\forall v\in\widetilde L}=\widetilde H$.

Теперь давайте в том же духе обратно -- слева направо.

О системах уравнений лучше не думать -- это не очень прилично, т.к. утверждение верно для любых пространств, в т.ч. и бесконечномерных.