Производная и интеграл

[integral2009]

По производным вопрос - правильно ли решено или нет, а интеграл - повис на одном моменте...
1) $z=sin^2(5x^2-4y^2)$
$dz=?$
$dz=\frac{\partial{z}}{\partial x}dx+\frac{\partial{z}}{\partial y}dy$
$z=sin^2(5x^2-4y^2)$
$dz=?$
$dz=\frac{\partial{z}}{\partial x}dx+\frac{\partial{z}}{\partial y}dy$
$\dfrac{\partial{z}}{\partial x}=2*2*5*x*sin({5x^2-4y^2})*cos({5x^2-4y^2})=10*x*sin[2(5x^2-4y^2)]$
$\dfrac{\partial{z}}{\partial y}=(-4)*2*2*y*sin(5x^2-4y^2)*cos({5x^2-4y^2})=-8*y*sin[2(5x^2-4y^2)]$
$dz=10*x*sin[2(5x^2-4y^2)]dx-8*y*sin[2(5x^2-4y^2)]dy$

2) Изменить порядок интегрирования
$ \int\limits_0^5dx\int\limits_0^{x^2}f(x,y)dy + \int\limits_0^9dx\int\limits_0^{\frac{9-x}{4}}f(x,y)dy$

Найдем точку пересечения
$x^2=\frac{9-x}{4}$
$x\approx1.38$
Получается, что исходный интеграл составлен коряво...
Корректно ли поставлена задача? ведь если $x$ меняется от $0$ до $1.38$ , тогда $y$ меняется от $x^2$ до $\frac{9-x}{4}$

[Sintanial]

Производная найдена правильно хотя и довольно странным и очень длинным способом. Можно было просто дифференцировать прямо в лоб как сложную функцию.

На счет интеграла. Зачем вы ищете точку пересечения ?. У вас задание поменять в каждом интеграле порядок. То есть каждый интеграл рассматриваете отдельно, и меняете порядок интегрирования

[integral2009]

Спасибо! Тоак получается?!!

$$\int\limits_0^5dx\int\limits_0^{x^2}f(x,y)dy+\int\limits_0^9dx\int\limits_0^{\frac{9-x}{4}}f(x,y)dy= =\int\limits_0^{25}dy\int\limits_0^{\sqrt{y}}f(x,y)dx+\int\limits_0^{9/4}dy\int\limits_0^{9-4y}f(x,y)dy$$

[Sintanial]

нет в первом ошибка. Интеграл по dx имеет другие границы.... нарисуйте область которая у вас была, и проверьте еще раз... подскажу, там должна участвовать 5.

Второй щас проверю... пару минут

-- Вс ноя 08, 2009 03:23:57 --

Ну второй интеграл верный. Проверьте только первый

-- Вс ноя 08, 2009 03:26:32 --

А вообще если сомневаетесь в ответе то за место под интегральной функции подставьте 1, и посчитайте интеграл в изначално виде, и в конечном, если совпадут то значит верно границы изменили. Такая маленькая проверочка, если допустим на контрольной время останется =)

[integral2009]

$$\int\limits_0^5dx\int\limits_0^{x^2}f(x,y)dy+\int\limits_0^9dx\int\limits_0^{\frac{9-x}{4}}f(x,y)dy= =\int\limits_0^{25}dy\int\limits_{\sqrt{y}}^{5}f(x,y)dx+\int\limits_0^{9/4}dy\int\limits_0^{9-4y}f(x,y)dy$$

Да, спасибо, разобрался, проверка подошла)))

[integral2009]

1) $z=sin^2(5x^2-4y^2)$
$dz=?$
$dz=\frac{\partial{z}}{\partial x}dx+\frac{\partial{z}}{\partial y}dy$
$z=sin^2(5x^2-4y^2)$
$dz=?$
$dz=\frac{\partial{z}}{\partial x}dx+\frac{\partial{z}}{\partial y}dy$
$\dfrac{\partial{z}}{\partial x}=2*2*5*x*sin({5x^2-4y^2})*cos({5x^2-4y^2})=10*x*sin[2(5x^2-4y^2)]$
$\dfrac{\partial{z}}{\partial y}=(-4)*2*2*y*sin(5x^2-4y^2)*cos({5x^2-4y^2})=-8*y*sin[2(5x^2-4y^2)]$
$dz=10*x*sin[2(5x^2-4y^2)]dx-8*y*sin[2(5x^2-4y^2)]dy$

2) Изменить порядок интегрирования
$ \int\limits_0^5dx\int\limits_0^{x^2}f(x,y)dy + \int\limits_0^9dx\int\limits_0^{\frac{9-x}{4}}f(x,y)dy$

Рассмотрим 1-ый интеграл
$\int\limits_0^5dx\int\limits_0^{x^2}f(x,y)dy$
Область интегрирования

=>
$\int\limits_0^5dx\int\limits_0^{x^2}f(x,y)dy=\int\limits_0^{25}dy\int\limits_{\sqrt{y}}^{5}f(x,y)dx$
Рассмотрим 2-ой интеграл
$\int\limits_0^9dx\int\limits_0^{\frac{9-x}{4}}f(x,y)dy$
Область интегрирования

=>$\int\limits_0^9dx\int\limits_0^{\frac{9-x}{4}}f(x,y)dy=\int\limits_0^{9/4}dy\int\limits_0^{9-4y}f(x,y)dy$
Выпишем ответ

$$\int\limits_0^5dx\int\limits_0^{x^2}f(x,y)dy+\int\limits_0^9dx\int\limits_0^{\frac{9-x}{4}}f(x,y)dy= =\int\limits_0^{25}dy\int\limits_{\sqrt{y}}^{5}f(x,y)dx+\int\limits_0^{9/4}dy\int\limits_0^{9-4y}f(x,y)dy$$

[integral2009]

Ой, на 2 рисунке 9/4 по оси y