Плотность вероятности сложной функции

[ZheniaM]

Уважаемые форумчане!

Возник небольшой вопрос (наверное это вещь довольно известная, но я как-то сходу не нашёл нужного ответа на вопрос).

Есть случайная величина $X$ с плотностью вероятности $f_X(x)$. Рассмотрим случайную величину $Y=\varphi(X)$. При каких условиях на $\varphi(\cdot)$ можно гарантировать существование плотности вероятности случайной величины $Y$? (Плотность понимается в стандартном смысле, т.е. без $\delta$-функций). Понятно, что есть теорема, говорящая о том, что если $\varphi(x)$ является дифференцируемой и строго монотонной (например, строго возрастающей), то существует плотность вероятности $Y$, которая выражается соотношением $f_Y(y)=f_X(\varphi(y))|\varphi'(y)|$. Но хочется получить при более общих условиях..например требование монотонности, как мне кажется, избыточно. Достаточно потребовать только существование производной функции $\varphi(x)$. Речь не идёт о нахождении конечной формулы для плотности $Y$, а лишь о условиях её существования. Может быть кто-нибудь сталкивался с чем-нибудь подобным?

[ewert]

ZheniaM в сообщении #259428 писал(а):

Достаточно потребовать только существование производной функции $\varphi(x)$.

Нет, конечно. И даже какой угодно гладкости недостаточно. Представьте себе на входе, скажем, гауссовскую случайную величину (или вообще какую угодно, принимающую все значения с ненулевой в соотв. смысле вероятностью). И навесьте на неё $\varphi(x)$, имеющую хоть один участок постоянства. Всё -- новая СВ уже не будет непрерывной.

[ZheniaM]

Да, согласен...наверное надо потребовать что-то типа "отсутствие площадок" у функции $\varphi(x)$..тоесть что-то типа $\mathbf{mes}\left\{x: \varphi(x)=const\right\}=0$...Только достаточно ли этого?...Просто хочется каким-то образом уйти от требования монотонности (тем более, что оно избыточно).

[ewert]

ZheniaM в сообщении #259436 писал(а):

Да, согласен...наверное надо потребовать что-то типа "отсутствие площадок" у функции $\varphi(x)$..тоесть что-то типа $\mathbf{mes}\left\{x: \varphi(x)=const\right\}=0$...Только достаточно ли этого?...

Этого вроде и достаточно -- для того, чтобы функция распределения $F_Y(y)$ была непрерывной. Но от НСВ стандартно принято требовать большего -- чтобы эта функция была ещё и абсолютно непрерывной. Иначе понятие плотности вероятности для неё не имеет смысла.

[ZheniaM]

А есть какой-нибудь проверяемый критерий абсолютной непрерывности?...Неужто есть примеры, когда функция $\varphi(x)$ является непрерывной, дифференцируемой, без площадок (в том смысле, который я указал чуть выше) и чтобы у случайной величины $Y=\varphi(x)$ не было бы плотности?...Просто хочется каким-то образом убрать требование монотонности (ведь, скажем, если $X\sim\mathcal{R}[-\pi,\pi]$, а $Y=sin(X)$, то у $Y$ есть плотность вероятности, хотя $sin(x)$ не является монотонной функцией..Он (синус) как бы состоит из двух монотонных кусков...так вроде условие "отсутствие площадок" и говорит о том, что функция и состоит из участков монотонности, на каждом из которых можно воспользоваться стандартным утверждением...или я где-то ошибаюсь?

[ewert]

ZheniaM в сообщении #259450 писал(а):

Неужто есть примеры, когда функция $\varphi(x)$ является непрерывной, дифференцируемой, без площадок (в том смысле, который я указал чуть выше) и чтобы у случайной величины $Y=\varphi(x)$ не было бы плотности?...

Ну как минимум надо, чтобы сама это функция была абсолютно непрерывной (т.е. чтобы для неё выполнялась формула Ньютона-Лейбница). Достаточно ли этого -- честно скажу, не знаю или не помню. Не уверен, что достаточно.

[--mS--]

Распределение $P_\xi(B)=\mathsf P(\xi \in B)$, $B\in\mathfrak B(\mathbb R)$, абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, если для любого множества $B$ нулевой лебеговой меры выполнено $P_\xi(B)=0$.

Распределение $P_{\varphi(\xi)}(B)=\mathsf P({\varphi(\xi)} \in B)$, $B\in\mathfrak B(\mathbb R)$, абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, если для любого множества $B$ нулевой лебеговой меры выполнено $P_{\varphi(\xi)}(B)=0$.

Однако $P_{\varphi(\xi)}(B)=\mathsf P(\xi \in \varphi^{-1}(B))=P_\xi(\varphi^{-1}(B))$. Таким образом, для абсолютной непрерывности композиции достаточно, чтобы для любого множества $B$ лебеговой меры нуль мера множества $\varphi^{-1}(B)$ равнялась нулю.

[ZheniaM]

--mS-- в сообщении #259477 писал(а):

Однако $P_{\varphi(\xi)}(B)=\mathsf P(\xi \in \varphi^{-1}(B))=P_\xi(\varphi^{-1}(B))$.

А для существования $\varphi^{-1}(B)$ необходима монотонность. Так как без монотонности непонятно что такое обратная функция...понятно...спасибо!

[ewert]

ZheniaM в сообщении #259481 писал(а):

А для существования $\varphi^{-1}(B)$ необходима монотонность. Так как без монотонности непонятно что такое обратная функция...понятно...спасибо!

Нет, не необходимо. Поскольку имелся в виду не образ обратной функции на этом множестве, а прообраз прямой.

[ZheniaM]

ZheniaM в сообщении #259481 писал(а):

Нет, не необходимо. Поскольку имелся в виду не образ обратной функции на этом множестве, а прообраз прямой.

Да, согласен. Стормозил что-то...действительно, имелось в виду множество значений (т.е. прообраз). Спасибо за пояснения.