Множество простых вида 4n-1

[bot]

А чем Вам не понравилось исчерпывающее, короткое и совершенно прозрачное доказательство, которое изложил maxal?
Прежде чем вникать в доказательство Вашего "мало того" хотелось бы уточнить, в чём оно собственно состоит.

Что означает (где d={0,1,..}...) ? Если можно взять d=0, то зачем остальные, или я что-то не так понимаю?

[Amigo]

Цитата:

А чем Вам не понравилось исчерпывающее, короткое и совершенно
прозрачное доказательство, которое изложил maxal?

Вот этим:

Цитата:

Это число имеет вид 4n-1, а поэтому должно иметь КАК МИНИМУМ ОДИН
ПРОСТОЙ ДЕЛИТЕЛЬ ТАКОГО ЖЕ ВИДА.

(выделение моё)

Поясните мне: откуда это следует?
Ведь на сколько мне известно базу во множестве натуральных
чисел, состовляют простые числа а не числа вида 4n-1-
даже если последнии простые.
Наоборот в самой же теоремме которую доказывает maxal он
показывает, что 4*q1*..*qn-1 не может делится ни на одно
из чисел q1,..,qn, что в действительности так и есть.
Откуда берётся та противоречие? Противоречие могло бы
быть если бы maxal доказал, что число 4*q1*..*qn-1
ввиду конечности n обязанно делится хотябы на одно из чисел q1,..,qn.
Но где он это доказывает?
Доказательство у Евклида получается из того ,что если предположить
что количество простых чисел конечно, то ВСЯКОЕ число может быть
представленно ввиде произведения конечного числа простых чисел,
а значит и само число 2*3*5*7*..*k+1 ,что конечно невозможно.
Но здесь же совсем другая ситуация.Ведь числа 4n-1-не образуют
базы в N. Поэтому на каком основании мы можем сделать предположение
о том,что 4*q1*..*qn-1 должно делится на q1,..,qn?
Или Вам кажется ответ на этот вопрос прозрачным?

Цитата:

Что означает (где d={0,1,..}...) ? Если можно взять d=0, то зачем
остальные, или я что-то не так понимаю?

Моё доказательство даёт положительный ответ, как Вы правильно
заметили даже в случае d=0.Очевидно и во всех других тоже.
Вообщето это конечно описка.(два раза текст набирал потому что
впервый раз нажал "пред.просм" без входа под моим логином
и весь текст удалился)

[Astor]

Amigo писал(а):

на каком основании мы можем сделать предположение
о том,что 4*q1*..*qn-1 должно делится на q1,..,qn?

Если предположить противное (то есть, что это число имеет простые делители только вида 4k+1), то это число имеет остаток 1 при делении на 4.

[bot]

Amigo писал(а):

Цитата:

А чем Вам не понравилось исчерпывающее, короткое и совершенно
прозрачное доказательство, которое изложил maxal?

Вот этим:

Цитата:

Это число имеет вид 4n-1, а поэтому должно иметь КАК МИНИМУМ ОДИН
ПРОСТОЙ ДЕЛИТЕЛЬ ТАКОГО ЖЕ ВИДА.

А это очевидно - произведение любых чисел (в том числе и простых) вида 4k+1 является числом этого же вида.

[Руст]

Докажите элементарным способом, что простых чисел, оканчивающихся на 9 бесконечно много.

[Brukvalub]

От противного: если простых чисел вида 10р+9 конечное число, то, обозначив их произведение буквой П, рассмотрим число 10П+9 - либо оно само простое, либо имеет простой делитель вида 10 к+9, не совпадающий ни с одним из ранее указанных простых вида 10р+9. Противоречие.

[evgeny]

Ну ведь еще есть представления вида $(10k+3)(10l+3)$.

Надо рассмотреть $20P^2-1$, очевидно не имеющее простых делителей вида $5k\pm2$.

[Руст]

Это неверно. Например число 39=3*13 разлагается на множители не содержащие цифру 9.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Это неверно. Например число 39=3*13 разлагается на множители не содержащие цифру 9.

А какое отношение к предложенному мной д-ву имеет это утверждение?

[Руст]

Пока я вам писал, оказывается evgenie привёл даже решение.

[surfer]

evgeny писал(а):

Надо рассмотреть $20P^2-1$, очевидно не имеющее простых делителей вида $5k\pm2$.

Непонятно - что в вас содержится в букве P?

[Руст]

Это дополнение к рассуждению предыдущего рассуждения: Пусть p1,p2,...,pk все простые окончивающиеся на 9( в предположении их конечности). Пусть Р их произведение. Тогда все простые делители числа 20P^2-1 или оканчиваются на 1 или на 9. Все на 1 не могут окончаться, должен существовать хотя бы один простой делитель окончивающийся на 9. И этот делитель отличается от приведённых в списке, что и приводит к противоречию с их конечностью.

[vbn]

Руст писал(а):

Это дополнение к рассуждению предыдущего рассуждения: Пусть p1,p2,...,pk все простые окончивающиеся на 9( в предположении их конечности). Пусть Р их произведение. Тогда все простые делители числа 20P^2-1 или оканчиваются на 1 или на 9. Все на 1 не могут окончаться, должен существовать хотя бы один простой делитель окончивающийся на 9. И этот делитель отличается от приведённых в списке, что и приводит к противоречию с их конечностью.

А почему, например, 2 каких-нибудь простых делителя числа 20P^2-1 не могут оканчиваться на 7?

[Руст]

Если простое число q делит число An^2-1, то это означает, что A является квадратичным вычетом по модулю q. Действительно в этом случае существует m, такой, что mn=1(mod q). Следовательно A=m^2(mod q). В нашем случае A=20, что дает [math]$(\frac 5q )=(\frac q5 )=1$[math], т.е. q при делении на 5 не равно +-2, что эквивалентно q=+-1(mod 10).

[maxal]

Подобное уже обсуждали ранее: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1983