Возведение в степень через сложение

[shex]

Как записать возведение в степень через сложение? В смысле, как умножение $a * b$ записывается $a+a+...+a$ $b$ раз, а степень через умножение $a^b$ как $a*a*...*a$ $b$ раз. Достаточно и при натуральных числах.
Спасибо.

[Парджеттер]

Мне кажется здесь по индукции можно сообразить.
Если
$a \cdot a = \underbrace{a+a+...+a}_a$
то

$$a \cdot a \cdot a =\underbrace{\underbrace{a+a+...+a}_a+...+\underbrace{a+a+...+a}_a}_a$$

Ну а дальше, в принципе, можно понять сколько всего.

[shex]

Парджеттер
Ну это понятно. Вот только если $a^n$, то как записать то, на что влияет $n$?

[venco]

Количество измерений гиперкуба.

[shex]

По формуле Парджеттера, насколько я понял $3^4$ будет

$$3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =(3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3)$$

, т.е. $(3+3+3)$ $3$ раза. А должно быть что-то вроде

$$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =\underbrace{\underbrace{\underbrace{(3+3+3)}_{3\cdot 3} + (3+3+3) + (3+3+3)}_{3\cdot 9} + (3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3)}_{3\cdot 27}$$

, т.е. $12$ раз по $(3+3+3)$.

[Профессор Снэйп]

$$ a^n = \underbrace{1 + \cdots + 1}_{a^n} = \underbrace{a + \cdots + a}_{a^{n-1}} $$

А чего вы хотели?

[Профессор Снэйп]

shex в сообщении #258122 писал(а):

Парджеттер
Ну это понятно. Вот только если $a^n$, то как записать то, на что влияет $n$?

Понятно на что. На количество фигурных скобок. Всего в записи $a^n$ количество скобок равно $n-1$.

Проще всего это дело представить одним из двух следующих способов.

1) Индукция. Если $s_n(a)$ --- запись для $a^n$, то $s_n(a) = \underbrace{s_{n-1}(a) + \cdots + s_{n-1}(a)}_a$.

2) Нарисуйте $a$-ветвящееся полное дерево высоты $n$. То есть у дерева есть корень, у корня $a$ последователей, у каждого из них $a$ своих последователей и т. д., так $n-1$ раз. Теперь на листьях дерева расставьте символ $a$, на нетерминальных вершинах дерева знак $+$, посмотрите на всю эту картинку и осознайте своё счастье

-- Ср ноя 04, 2009 10:30:02 --

shex в сообщении #258129 писал(а):

...т.е. $12$ раз по $(3+3+3)$.

Почему $12$? Не $12$, а $9$ раз.

[shex]

Профессор Снэйп
Спасибо! Я, правда, надеялся, что будет какая-нибудь менее замысловатая формула))

Цитата:

Почему $12$? Не $12$, а $9$ раз.

Да, я тут ошибся, но сейчас уже не могу исправить.

[Дима Тишков]

Я бы записал по-другому
$a^n=\left.\begin{matrix}\underbrace{a+a+\dots+a}\\ \underbrace{a+a+\dots+a}\\ \vdots\\ \underbrace{a+a+\dots+a}\\ a\end{matrix}\right\}n$

[venco]

Дима Тишков в сообщении #258370 писал(а):

Я бы записал по-другому
$a^n=\left.\begin{matrix}\underbrace{a+a+\dots+a}\\ \underbrace{a+a+\dots+a}\\ \vdots\\ \underbrace{a+a+\dots+a}\\ a\end{matrix}\right\}n$

У вас получилось $a^2\cdot n$

[EtCetera]

venco
Да, нет. Все правильно. Имеется в виду, что (если рассматривать выражение снизу вверх) $a$ - количество слагаемых $a$, т.е. имеем $a^2$; последнее число - количество слагаемых $a$, объединяемых фигурной скобкой выше, т.е. $a^2\cdot a=a^3$ и т.д.

[venco]

Тогда я обозначение не понял.
Над верхней скобкой сколько и каких слагаемых?

[EtCetera]

venco
Над каждой скобкой все слагаемые - $a$.
Разница только в количестве слагаемых.
Сравните данное выражение со значением функции Аккермана для аргументов $(5,n)$ из недавно упоминаемой Вами статьи в Wikipedia.

[shex]

А еще такой вопрос: во сколько раз $a^n > a*n$?

[EtCetera]

shex
В $\dfrac{a^n}{a\cdot n}=\dfrac{a^{n-1}}{n}$? Или Вы не это имели ввиду?