Множество и треуголник

[daogiauvang]

Предположим, что множество всех натуральных чисел $N$ разбивается на 3 попарно непересекающихся бесконечное множество $A, B$ и $ C: A\cup B \cup C = N$. Докажите, что существует бесконечно много троек $a\in A, b\in B $и$ c\in C$ такое, что $a, b$ и $c$ являются сторонами некоторого треугольника.

[TOTAL]

Число $1$ отбросим. Среди оставшихся чисел возьмем по минимальному числу из каждой группы. Пусть максимальным из этих чисел оказалось число $c$ группы $C.$ Очевидно, что это число и максимальные числа групп $A$ и $B,$ которые меньше $c,$ являются сторонами тр-ка. Отбросим число $c$ и всё, что меньше него. Среди оставшихся чисел возьмем по минимальному числу из каждой группы. Пусть максимальным из этих чисел оказалось ... и т.д.

[Sasha2]

А я вот что-то не понял решение уважаемого TOTAL.
Мне кажется вот более наглядное:
Возьмем из множеств A, B и C три числа $a_1, b_1, c_1$ так, чтобы $a_1< b_1< c_1$ (что всегда возможно в силу бесконечности этих множеств).
Если $c_1<a_1+b_1$ (остальные два неравенства треугольника тривильны), то эти $a_1, b_1, c_1$ и есть стороны искомого треугольника, если же это не так, то возьмем в множествах A и B числа $a_2>c_1-b_1$ и $b_2>c_1-a_1$ (что опять таки возможно в силу бесконечности этих множеств). Тогда уже легко показываем, что сторонами треугольника являются $a_2, b_2, c_1$.

[TOTAL]

Sasha2 в сообщении #257942 писал(а):

Тогда уже легко показываем, что сторонами треугольника являются $a_2, b_2, c_1$.

$a_2=2c_1, b_2=5c_1, c_1$ - легко показывайте.

[Sasha2]

Да вижу, есть ошибка у меня в рассуждении. Приношу извинения.