независимость случайных величин

[g-a-m-m-a]

Как доказать, что случайные величины $\xi=\sqrt{-2\ln\gamma_1}\cos{2\pi\gamma_2}$
и $\nu=\sqrt{-2\ln\gamma_1}\sin{2\pi\gamma_2}$ независимы?
Здесь $\gamma_1,\,\gamma_2$ имеют равномерное на отрезке $[0,1]$ распределение, также можно показать, что $\xi,\,\nu$ имеют стандартное нормальное распределение.

[venco]

Наверно, посчитать ковариацию: Ковариация
Если равно нулю - значит линейно-независимые.

[ИСН]

Они не только линейно, они вообще независимы.
Короче, это канонический способ получения нормального распределения из равномерного, а с независимостью как обычно: находим совместную плотность вероятности $\rho(\xi,\nu)$, и она - сюрприз! - раскладывается в произведение.

[venco]

А для полной независимости:
Пусть $F_{X,\;Y},\;F_X,\;F_Y$ — кумулятивные функции распределения $(X,\;Y),\;X,\;Y$ соответственно. Тогда $X,\;Y$ независимы тогда и только тогда, когда

$F_{X,\;Y}(x,\;y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$.

[g-a-m-m-a]

ИСН в сообщении #257777 писал(а):

находим совместную плотность вероятности $\rho(\xi,\nu)$, и она - сюрприз! - раскладывается в произведение.

поясните, пожалуйста

[ИСН]

Не очень понял, что пояснять. Мы кидаем точку на плоскость $(\xi,\nu)$, она попадает куда-то чаще, а куда-то реже. Описывает это дело плотность вероятности - такая функция от двух переменных. Вот её надо найти.

[g-a-m-m-a]

не понятно, как эту плотность найти((

[Хорхе]

Имеем дело с некоторым преобразованием (кстати, очень даже однозначным, что приятно) двумерного случайного вектора. Собственно, надо всего лишь понять, как меняется плотность при этом преобразовании. И тут пригодятся формулы замены переменных в кратном интеграле, всякие якобианы и проч.

ЗЫ Кстати, совместная характеристическая функция очень даже хорошо считается благодаря радиальной симметрии распределения.

[Shtirlic]

g-a-m-m-a
В Гмурмане про это дело довольно неплохо написанно.

-- Ср ноя 04, 2009 14:32:57 --

Хотя там случаи несколько проще, но идею понять можно!!!

[ewert]

venco в сообщении #257776 писал(а):

Наверно, посчитать ковариацию: Ковариация
Если равно нулю - значит линейно-независимые.

А разве есть такое понятие -- "линейная независимость случайных величин"?

[--mS--]

ewert в сообщении #258157 писал(а):

А разве есть такое понятие -- "линейная независимость случайных величин"?

Много, много завелось теперь терминов... Данный, видимо, является синонимом "некоррелированности"

[ewert]

Об чём и речь.

[rishelie]

насколько помню, нормальные с.в. независимы, если их корреляция равна нулю
так что если данные с.в. действительно являются стандартными нормальными, то нужно посчитать ${\bf\sf E}\xi\nu$ на предмет равенства нулю.

-- Ср ноя 04, 2009 18:18:08 --

Походу так оно и есть:

$${\bf\sf E}\xi\nu=\int(-2\ln\gamma_1)\cos(2\pi\gamma_2)(-2\ln\gamma_1)\sin(2\pi\gamma_2)d{\bf\sf P}=\int(-\ln\gamma_1)\sin(4\pi\gamma_2)d{\bf\sf P}=2\int\limits_0^1\int\limits_0^1\ln^2(1/x)\sin(4\pi y)dxdy=0$$

Одно условие только: $\gamma_1$ и $\gamma_2$ должны быть независимы , иначе тут плотность $(\gamma_1,\gamma_2)$ не будет равна 1.

[--mS--]

rishelie в сообщении #258262 писал(а):

насколько помню, нормальные с.в. независимы, если их корреляция равна нулю

Неправильно помните Величины с совместным нормальным распределением независимы, если их корреляция равна нулю. Одних маргинальных нормальных распределений недостаточно.

[rishelie]

--mS-- в сообщении #258362 писал(а):

rishelie в сообщении #258262 писал(а):

насколько помню, нормальные с.в. независимы, если их корреляция равна нулю

Неправильно помните Величины с совместным нормальным распределением независимы, если их корреляция равна нулю. Одних маргинальных нормальных распределений недостаточно.

а, точно... но как показать нормальность $(\xi,\nu)$... харфункция что-то не хочет вычисляться там косинусы в экспоненте непонятно как убрать. Радиальная симметрия позволяет избавиться от мнимой части, в итоге под интегралом будет нечто вроде $\cos(t\cos(y)+u\sin(y))$ с коэффициентами.

-- Чт ноя 05, 2009 09:14:44 --

rishelie в сообщении #258262 писал(а):

$${\bf\sf E}\xi\nu=\int(-2\ln\gamma_1)\cos(2\pi\gamma_2)(-2\ln\gamma_1)\sin(2\pi\gamma_2)d{\bf\sf P}=\int(-\ln\gamma_1)\sin(4\pi\gamma_2)d{\bf\sf P}=2\int\limits_0^1\int\limits_0^1\ln^2(1/x)\sin(4\pi y)dxdy=0$$

ой, корни упустил )

$${\bf\sf E}\xi\nu=\int(-2\ln\gamma_1)\cos(2\pi\gamma_2)\sin(2\pi\gamma_2)d{\bf\sf P}=\int(-\ln\gamma_1)\sin(4\pi\gamma_2)d{\bf\sf P}=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\ln(1/x)\sin(4\pi y)dxdy=0$$