Теорема Штольца

[newprint]

Всем Привет !

Сижу разбираю доказательство теорему Штольца в Фихтенгольцовском 3х Томнике ([33] -78 страница) и доказательство мне показалось слишком непонятным, порылся в интернет и нашёл другое доказательство, но снова столкнулся с небольшой сложностью.

Вот ссылка на доказательство
http://myyn.org/m/article/proof-of-stol ... o-theorem/

Я не пойму почему суммируют и на каком основании.

$\displaystyle (l-\epsilon)\sum_{i=N(\epsilon)}^{k}(b_{i+1}-b_i) < \sum_{i=N(\epsilon)}^{k}(a_{n+1}-a_n) < (l+\epsilon)\sum_{i=N(\epsilon)}^{k}(b_{i+1}-b_i) $

Спасибо!

[ewert]

На основании того, что эта цепочка неравенств верна для каждого из слагаемых -- а значит, и для сумм. (В центральной сумме, разумеется, опечатка -- должно быть $(a_{i+1}-a_i)$.)

Там в другом месте проблема, дальше -- гордо проигнорирована роль слагаемых $\dfrac{b_{N(\varepsilon)}}{b_{k+1}}$ и $\dfrac{a_{N(\varepsilon)}}{b_{k+1}}$. А для приличия следовало бы сказать о них хоть пару слов.

Почитайте в русской Википедии -- там (в отличие от аглицкой) всё вполне корректно изложено. Правда, с привлечением некоторого заранее совсем неочевидного тождества. А вот если эти два варианта скрестить, то и получится то, что надо.

[newprint]

Спасибо за ответ !
Я понял, там просто телескопическая сумма.

Текс по ссылке, это перепечатка Фихтенгольца. Читал это доказательство в учебника, ума не приложу как они получили это тождество.

[ewert]

Ну, он (Фихтенгольц) просто поковырял требуемую разность туды-сюды, выцарапал из неё разность, которая уже оценена, ну и получил тождество. В общем, проявил творческую фантазию. И напрасно. Гораздо разумнее было бы начать так, как в английском варианте (с удалением опечаток, конечно). Только в самом конце вместо безобразнейшей отмашки "This means that there is some $K$ such that for $k\ge K$ we have..." следовало переписать предыдущую строчку в виде

$$l-\varepsilon-{(l-\varepsilon)b_{N(\varepsilon)}\over b_{k+1}}+{a_{N(\varepsilon)}\over b_{k+1}}<{a_{k+1}\over b_{k+1}}<l+\varepsilon-{(l+\varepsilon)b_{N(\varepsilon)}\over b_{k+1}}+{a_{N(\varepsilon)}\over b_{k+1}}$$

и сказать: поскольку дроби в правой и в левой части стремятся к нулю, каждая из них при всех достаточно больших номерах по модулю не превосходит $\varepsilon$. Т.е. найдётся такой номер $K(\varepsilon,N(\varepsilon))\equiv K(\varepsilon)$, что при $k>K(\varepsilon)$ выполнено

$$l-3\varepsilon<{a_{k+1}\over b_{k+1}}<l+3\varepsilon\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left|{a_{k+1}\over b_{k+1}}-l\right|<3\varepsilon.$$

Это и означает, что $\dfrac{a_{k+1}}{b_{k+1}}\to l$.

Разъяснение случая бесконечных пределов у Фихтенгольца вполне удовлетворительно (а в английском варианте вовсе отсутствует).