Как сохранить ортогональность векторов?

[serval]

Здравствуйте!
Пожалуйста, помогите разобраться.
Пусть имеется скалярное произведение $\left(\vec{x},\ \vec{y}\right)=0$. Подействуем на исходные векторы линейными операторами так, что $\hat{A}\ \vec{x}=\vec{x'}$, $\hat{B}\ \vec{y}=\vec{y'}$ и $\left(\vec{x'},\ \vec{y'}\right)=0$.
Матрица $A$ дана. Каким условиям должна удовлетворять матрица $B$, чтобы ортогональность векторов сохранилась? Можно ли выразить матцу $B$ через матрицу $A$?

[meduza]

serval
Можно попробывать выразить так. Пусть $\mathcal{A}^*$ -- линейное преобразование, сопряженное к $\mathcal{A}$. Тогда $(\mathcal{A}x,\mathcal{B}y)=(x,\mathcal{A}^*\mathcal{B}y)$, нам нужно, чтобы $\mathcal{A}^*\mathcal{B}$ не изменяло направление вектора. Таким свойством обладает, например, тождественное преобразование $\mathcal{E}$ ($\mathcal{E}x=x$). Отсюда можно найти матрицу $B$.

P. S. Матрица $A^*$ является транспонированной к $A$.

[serval]

Это если известна матрица $B$. Может быть на неё существуют какие-то условия?

[meduza]

serval в сообщении #255962 писал(а):

Это если известна матрица $B$. Может быть на неё существуют какие-то условия?

У вас есть матрица $A$, вам нужно найти любую такую матрицу $B$, чтобы если $(x,y)=0$, то и $(\mathcal{A}x,\mathcal{B}y)=0$, где $\mathcal{A},\ \mathcal{B}$ -- линейные преобразования, соответствующии этим матрицам. Так? Тогда отправляю вас ко второму посту, т. е. $A^T B=E,\ A^T=B^{-1},\ ...$

[Shtirlic]

Перейдем к матричному представлению условий ортогональности, если x и y вектор столбцы то их ортоганальность записывается так $x^{T}y=0$, аналогично после преобразования
$\left(Ax\right)^{T},\left(By\right)=0$. Дальше думаем.

-- Чт окт 29, 2009 00:45:29 --

Описался
$\left(Ax\right)^{T}\left(By\right)=0$
Пока писал, уже ответили, в общим если что я сказал довести до конца то вы получите тот же вывод.

[serval]

А почему транспонированная, а не обратная? Ведь $A^{-1}A=E$.

-- Ср окт 28, 2009 15:49:25 --

Пусть $\vec{x}$ - вектор-строка, а $\vec{y}$ - вектор-столбец.

[meduza]

serval в сообщении #255973 писал(а):

А почему транспонированная, а не обратная?

Потому что есть теоремка, которая говорит, что матрица сопряженного преобразования является транспонированной к матрице "обычного" преобразования. Посмотри в учебнике по линейной алгебре, где рассматриваюбтся сопряженные преобразования, например "Линейная алгебра и некоторые ее приложения" Головиной.

[Shtirlic]

serval
Транспонированная потому, что все сначала считали x и y вектор-столбцами, и чтобы x стал вектор-строчкой транспонировали. А ваше условие что x изначально вектор-строка не верно, почему вспоминайте правила умножения матриц.

[serval]

Давайте считать, что $\vec{x}$ - матрица-строка размером $1\times m$, а $\vec{y}$ - матрица-столбец $m\times 1$. Число столбцов первой равно числу строк второй. Почему нельзя их перемножить?

[meduza]

serval в сообщении #255999 писал(а):

Почему нельзя их перемножить?

можно

[serval]

Всё, дошло. Сам написал, что оба вектора умножаем на соответствующие матрицы слева - значит они столбцы. Извините, я немного о другом думаю.

-- Ср окт 28, 2009 17:26:12 --

А Головиной в интернете не нашел. Где еще можно посмотреть?

[meduza]

serval в сообщении #256013 писал(а):

А Головиной в интернете не нашел. Где еще можно посмотреть?

Что конкретно? Сопряженные лин. преобразования? Попробуйте гуглом. Хотя всё что нужно, уже сказано о них тут. Если вкрадце, то $\mathcal{A}^*$ называется сопряженным к $\mathcal{A}$, если $(\mathcal{A}x,y)=(x,\mathcal{A}^* y)$.

P. S. Тут есть: Гельфанд, "Лекции по линейной алгебре". В интернете можно найти электронную версию.

[serval]

Собственно, есть выражение такого типа

$$\left(x_1,x_2,x_3\right) \left (\begin{array}{ccc} C_{11}&C_{12}&C_{13}\\ C_{21}&C_{22}&C_{23}\\ C_{31}&C_{32}&C_{33} \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} y_1\\y_2\\y_3 \end{array}\right)=0$$

Как называется конструкция в его левой части?
Нужно, зная матрицу на которую умножается (справа) $x$-строка, найти матрицу на которую должен быть умножен (слева) $y$-столбец чтобы равенство выражения нулю сохранилось:
$xCy=0$ - исходное равенство,
$xACBy=0$ - итоговое равенство,
$x,y,C,A$ - известны,
$B$ - требуется найти.
Годится ли указанный выше в теме способ?

[ewert]

serval в сообщении #257374 писал(а):

Как называется конструкция в его левой части?

Билинейной формой $(C\vec y,\vec x)$.
А что в точности дано и что в точности надо найти -- непонятно.

[serval]

В выражении $xCy=0$ дано всё.
Далее $x$ умножаем справа на матрицу $A$ которая тоже дана, а $y$ умножаем слева на матрицу $B$ которая неизвестна.
Но по условию конечное выражение также должно быть равно нулю: $xACBy=0$.
По известным $x,y,C,A$ и условию равенства нулю конечного выражения требуется найти матрицу $B$.