Перескающиеся прямые

[Nikita_b]

Здравствуйте, возникла проблема при решении простенькой задачки.
Есть две прямые, одна из них задана параметрическим уравнением прямой, другая, как пересечение двух плоскостей, задача узнать скрещиваются ли прямые, и составить уравнения двух параллельных плоскостей, проходящих через них.

Мое решение, не даю цифровых значений, чтобы не мучится с TeX:
1. Чтобы найти направляющий вектор, я из параметрического и общего уравнения делаю каноническое. Как я понял по другому направляющий вектор не выразить?
2. Составляем определитель и проверяем лежат ли прямые в одной плоскости.
3. А вот дальше у меня начинаются затруднения....Ну допустим построить одну плоскость проходящую через две прямые я могу, а как найти параллельную ей?

Понятно, что параллельная эта та, которая у которой $A,B,C$ пропорциональны, и можно изменить уравнение полученной плоскости и проверить проходит ли новая плоскость через эти две прямые, но это собственно не решение.....
Заранее благодарен за помощь.

Тут подумал. Плоскость бесконечна. Прямые тоже. Разве не любая плоскость параллельная полученной будет проходить через эти прямые?

[Kuzya]

А перемножить векторно направляющие векторы прямых не пробовали?:)

-- Вс ноя 01, 2009 08:24:03 --

Простите, не вчитался в вопрос
Если прямые принадлежат одной плоскости, то вторую плоскость, проходящую через них не построить

[Shtirlic]

Nikita_b
Я несколько не пойму что вы делали, находите параметрическое уравнение второй прямой (направляющий вектор это вектор из козффициентов перед параметром). Не пойму что за определитель составляется для определения пересечения прямых (может просто не знаю). Дальше если прямые параллельны то через них можно провести бесконечное множество параллельных плоскостей (в том часле которые и совпадают), так что скорее всего они скрещивающиеся, а как действовать дальше вам сказал Kuzya.

[ewert]

Стандартная задача, и схема тоже стандартна.

1). Определить направления каждой из прямой, т.е. найти два направляющих вектора.

2). Определить направление каждой из параллельных плоскостей, т.е. найти общий для них нормальный вектор. Действительно, как и было указано -- векторным умножением. Если вектор окажется нулевым -- то прямые параллельны и задача некорректна.

3). Окончательно зафиксировать уравнение каждой плоскости (найти свободный член), выбрав на каждой прямой по одной (какой угодно) точке и подставив в уравнение плоскости. Если уравнения плоскостей совпадут -- то эти прямые пересекаются, иначе -- скрещиваются.

[Nikita_b]

Цитата:

Если прямые принадлежат одной плоскости, то вторую плоскость, проходящую через них не построить

Для определения пересекаются ли она, я использую смешанное произведение, т.е я беру два направляющих вектора прямых и разность их радиус векторов. И если их смешанное произведение равно нулю => векторы лежат в одной плоскости.
В данном случае они пересекаются.

Цитата:

2). Определить направление каждой из параллельных плоскостей, т.е. найти общий для них нормальный вектор. Действительно, как и было указано -- векторным умножением. Если вектор окажется нулевым -- то прямые параллельны и задача некорректна.

Хм, да, я про параллельность прямых не подумал...

Цитата:

3). Окончательно зафиксировать уравнение каждой плоскости (найти свободный член), выбрав на каждой прямой по одной (какой угодно) точке и подставив в уравнение плоскости. Если уравнения плоскостей совпадут -- то эти прямые пересекаются, иначе -- скрещиваются.

Вот этот пункт я не совсем понял.
У нас же в итоге получится только одна плоскость. Чтобы найти вторую можно просто взять другие точки?

[vvvv]

Вот пример - как можно делать.

[ewert]

На данный момент у нас уже определено направление плоскости, т.е. первые три коэффициента в уравнении $Ax+By+Cz=D$. Чтобы определить $D$, достаточно потребовать прохождения плоскости через какую-то одну точку. Берём эту точку на первой прямой -- получаем первую плоскость, на второй -- вторую.

-- Вс ноя 01, 2009 15:20:54 --

vvvv в сообщении #257255 писал(а):

Вот пример - как можно делать.

Вот пример того, как не нужно делать. В частности:

Цитата:

1. Для того, чтобы определить пересекаются данные прямые или нет - подставим координаты точки, через которые проходит первая прямая в уравнения плоскостей задающих вторую прямую

... и решительно ничего полезного отсюда не извлекаем. Кроме исключительного случая, когда та точка каким-нибудь чудом окажется вдруг именно точкой пересечения прямых.

Кроме того, там нет ответа -- уравнения плоскостей выписаны в чудовищно-параметрической форме.

[vvvv]

С первым замечанием согласен (поспишил)
Со вторым нет- не нравится параметрические уравнение перейдите к общему.Параметрические ( по существу векторные) пишутся без всяких вычислений.Да и мыслить нужно ВЕКТОРНО!

[ewert]

vvvv в сообщении #257263 писал(а):

- не нравится параметрические уравнение перейдите к общему.

Дело не в том, что кому нравится или не нравится, а в том, что есть определённые правила игры, и их нужно соблюдать. Если сказано "найти плоскость" -- значит, надо найти именно общее уравнение. Иначе было бы чётко указано: "найти нормальное", или "в отрезках", или "параметрические", или ещё какие.

И ещё. Сколько раз можно повторять: рисовать без необходимости -- вредно. Это -- как раз из тех задач, в которых рисунки ничем не помогают, а лишь затемняют суть происходящего. Как и маткадовская нотация.

[vvvv]

Внемля критике ewerta переделал пример.


-- Вс ноя 01, 2009 16:40:30 --

ewert, вот что пишет участник Международного конгресса математиков в Мадриде А.Б.Сосинский.На этом конгрессе присутствовало
4000 лучших математиков планеты.

P.S. Это по поводу вредности визуальных образов в математике
Только сейчас заметил, что определитель D составлен неверно - в нем должны быть координаты векторов w, w1, M.

[Nikita_b]

Итак подведем мини итог:
У меня получилось два уравнения прямых:

$L_1 : x+1 = 3-y = \frac {z+5} {4}$
$L_2 :\frac {x- \frac {17} {5}} {- \frac {42} {55}}= \frac { y - \frac {3} {5}} {- \frac {3} {5}} = - \frac {z} {\frac {3} {11}}$

Произведение направляющих векторов:
$\frac {12} {5}i + \frac {168} {55}j + 0k$

Найдем точки на первой и второй прямой:
$M_1 = (-1, 3, -5)$
$M_2 = (\frac {17}{5},\frac {3} {5}, 0)$

И как можно теперь подставить три координаты вместо D?

[ewert]

Nikita_b в сообщении #257295 писал(а):

$L_1 : x+1 = 3-y = \frac {z+5} {4}$
$L_2 :\frac {x- \frac {17} {5}} {- \frac {42} {55}}= \frac { y - \frac {3} {5}} {- \frac {3} {5}} = - \frac {z} {\frac {3} {11}}$

Произведение направляющих векторов:
$\frac {12} {5}i + \frac {168} {55}j + 0k$

Это точно неверно. И как Вы искали уравнения второй прямой? Там числа подозрительно велики, в учебных задачах обычно так не бывает.

Вообще трудно что-то обсуждать, не видя исходных условий.

[Nikita_b]

Ну собственно оригинальные формулы:
$x=t-1, y=-t+3 z= 4t-5$
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y+z=5\\ x+y-5z=4\\ \end{array} \right. $

В первой прямой я выражал t, а затем приравнивал полученные уравнения, а во второй принимал y, z за 0. Т.е решал две системы:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=5\\ x+y=4 \end{array} \right. $
и
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+z=5\\ x-5z=4 \end{array} \right. $
Отсюда находил две точки, и записывал их в уравнение прямой проходящей через две точки.

[ewert]

Nikita_b в сообщении #257304 писал(а):

, а во второй принимал y, z за 0.

Совершенно напрасно. Надо было выписать нормальные векторы к этим плоскостям и вычислить направляющий вектор по ним. Да и точку на прямой желательно подобрать всё же с целыми координатами, а не просто обнуляя одну из переменных.

Кстати, точки Вы нашли неверно. Минимальные целочисленные координаты направляющего вектора заметно проще.

-- Вс ноя 01, 2009 18:11:43 --

Nikita_b в сообщении #257304 писал(а):

В первой прямой я выражал t, а затем приравнивал полученные уравнения,

Это тоже напрасно. И точку, и направляющий вектор можно выписать непосредственно из параметрических уравнений, нет никакой необходимости переходить к каноническим. Тем более что форма уравнений у Вас получилась не шибко-то канонической, а это тоже потенциальный источник ошибок.

[Nikita_b]

ewert в сообщении #257308 писал(а):

Nikita_b в сообщении #257304 писал(а):

, а во второй принимал y, z за 0.

Совершенно напрасно. Надо было выписать нормальные векторы к этим плоскостям и вычислить направляющий вектор по ним. Да и точку на прямой желательно подобрать всё же с целыми координатами, а не просто обнуляя одну из переменных.

Кстати, точки Вы нашли неверно. Минимальные целочисленные координаты направляющего вектора заметно проще.

Нормальные векторы:
$n_1 = (2, -3, 1)\\ n_2 = (1, 1, -5)$
Как я понимаю направляющий вектор будет векторным произведением, т.е:
$a = (14, 11, 5)$

ewert в сообщении #257308 писал(а):

-- Вс ноя 01, 2009 18:11:43 --

Nikita_b в сообщении #257304 писал(а):

В первой прямой я выражал t, а затем приравнивал полученные уравнения,

Это тоже напрасно. И точку, и направляющий вектор можно выписать непосредственно из параметрических уравнений, нет никакой необходимости переходить к каноническим. Тем более что форма уравнений у Вас получилась не шибко-то канонической, а это тоже потенциальный источник ошибок.

Я в начале топика и спрашивал, как можно выразить направляющий вектор из параметрических уравнений.
Теперь уже сам нашел.
$P : (1, -1, 4) M_1 = (-1, 3,-5)$

-- Вс ноя 01, 2009 19:03:31 --

Ну и если эти два направляющих вектора перемножить получится (49, -51, -3), что собственно не равно нулю. Т.е прямые не пересекаются.

Теперь осталось найти на прямых точку и подставить в уравнения плоскости.

Только точка второй прямой все ровно получается с дробными координатами.
M_2 = (6.2, 2.8, 1)