Интегральные уравнения Фредгольма

[integral2009]

Две задачи, в первой возник вопрос в конце, во второй - непонятно, правильно ли сделал...
1) Найти характеристические числа и собственные функции уравнения
$\phi(x)-\lambda{\int\limits_0^{\pi/4}sin^2(x)\phi(t)dt}=0$
$\phi(x)=\lambda{sin^2(x)}{\int\limits_0^{\pi/4}\phi(t)dt}$
$\int\limits_0^{\pi/4}\phi(t)dt=C$
$\phi(x)=C\lambda{sin^2(x)}$
$C=\lambda{C}\int\limits_0^{\pi/4}{sin^2(t)}dt$
$\int\limits_0^{\pi/4}{sin^2(t)}dt=\frac{\pi-2}{8}$ (интеграл точно посчитан правильно, проверял на компьютере)
$C=\lambda{C}\frac{\pi-2}{8}$
Чтобы выполнялось это тождество, нужно, чтобы
$\lambda=\frac{8}{\pi-2}$
Судя по всему - это характеристическое число, а $C$ может быть любым числом, кроме нуля, тк задача потеряет смысл...А как дальше тогда действовать?!
2)При каких значениях параметров разрешимо уравнение
$\phi(x)=\lambda{\int\limits_0^1{xt^2{\phi(t)}dt}+\alpha{x}+\beta$
Решение
$\phi(x)=\alpha{x}+\beta+\lambda{x}{\int\limits_0^1{t^2{\phi(t)}dt}$
$C=\int\limits_0^1{t^2{\phi(t)}dt$
$\phi(x)=\alpha{x}+\beta+C\lambda{x}$
$C=\int\limits_0^1{t^2}(\alpha{t}+\beta+C\lambda{t})dt$
$C=\frac{\alpha}{4}+\frac{\beta}{3}+\frac{\lamda{C}}{4}$
$C(1-\frac{\lambda}{4})=\frac{\alpha}{4}+\frac{\beta}{3}$
=> Если выполняется условие
$\frac{\alpha}{4}+\frac{\beta}{3}=0$ и $\lambda=4$, то уравнение разрешимо...Как-то так

[ewert]

integral2009 в сообщении #256944 писал(а):

...А как дальше тогда действовать?!

Никак, это ответ.
Только для приличия уберите $C\lambda$ из описания собственной функции. Когда запрашивают собственные функции -- обычно имеют в виду базисы в собственных подпространствах. Вот Вы единственную (с точностью до подразумеваемого постоянного множителя) базисную собственную функцию и нашли.

integral2009 в сообщении #256944 писал(а):

Если выполняется условие
$\frac{\alpha}{4}+\frac{\beta}{3}=0$ и $\lambda=4$, то уравнение разрешимо...Как-то так

До сих пор верно (если я тоже чего не зевнул в арифметике), а здесь -- неверная интерпретация результата.

При всех $\lambda\neq4$ решение существует и единственно для каждой пары $\alpha,\ \beta$. Если $\lambda=4$ (это -- характеристическое число), то решения существуют только при $\frac{\alpha}{4}+\frac{\beta}{3}=0$, и количество этих решений бесконечно (формально -- т.к. $C$ любое).

(Фактически это следствие общей теоремы: уравнение разрешимо только тогда, когда его "свободный член" ортогонален всем решениям однородного сопряжённого уравнения. Условие $\frac{\alpha}{4}+\frac{\beta}{3}=0$ -- это и есть условие ортогональности, наложенное на $f(x)=\alpha x+\beta$.)

[integral2009]

Спасибо большое, понял)))