Сумма цифр квадрата целого числа

[Fidd]

Может ли квадрат целого числа иметь сумму цифр, равную 6030? а 6034?

[meduza]

Можно попробывать использовать то, что цифровой корень (например для 196 он равен 7: 1+9+6=16, 1+6=7) квадрата целого числа может принимать только 4 значения: 1, 4, 7, 9. Но тут есть проблема: это необходимое условие, но не достаточное (пример: число 13). К сожалению, ни одно из чисел 6030 и 6034 на основании этого отмести нельзя.

[Хорхе]

Любая кратная $9$ сумма цифр может быть. Как ни удивительно, пример числа, у квадрата которого сумма цифр $9n$ - число из $n$ девяток.

[Fidd]

Ну а что делать с 6034?

[Хорхе]

Да, и для $6034$ существует очень похожий пример (напрягитесь немного и напишите).

[OV08]

Для 6034 число из 670 девяток умножить на 10 и добавить 2

[maxal]

В связи с этой задачкой, предлагаю найти все такие целые числа (или доказать, что их нет), сумма цифр квадрата которых равна 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16, 18, и так далее.
Верно ли, что начиная с некоторой суммы такие целые обязательно существуют? Если да, то с какой?

[Хорхе]

На самом деле, для $6034$ я имел в виду число $9\dots 97$. И да, для всех, как раз достаточно рассмотреть $9\dots 9$, $9\dots 98$, $9\dots 97$, $9\dots 95$. (Не получаются только суммы $1$ и $4$, но квадраты с такой суммой цифр найти... как бы это выразиться-то? -- несложно!)