Как посчитать сумму ряда?

[integral2009]

то, что он сходится, это точно, необходимое условие выполнено, по признаку Деламбера он сходится абсолютно...
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}$
Каким способом считать, совсем уже забыл, как делать подобные вещи...

[Alexey1]

Геометрическую прогрессию посмотрите.

[integral2009]

Спасибо, каюсь, ступил жестко)
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}=\frac{1}{1-1/3}=\frac{3}{2}$

-- Сб окт 31, 2009 02:26:54 --

Еще один вопросик, из той же серии, можно ли так сделать? если да, то почему? Если нет, то почему?)
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\lambda^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{sinx}{1-\lambda}$

[venco]

Нельзя. Ряд синуса знакопеременный. К тому же ряд произведений не равен произведению рядов. Т.е. геометрической прогрессии тут нет.

[integral2009]

А как тогда дальше можно упростить? Велик соблазн был так сделать...

[venco]

Во первых, ряд идентифицировали?
Во вторых, лямбду и икс можно объединить.

[integral2009]

А как их объединить, степени у $x$ и $\lambda$ разные...
Да, я перепутал, там $sh(x)$ должен быть, а не $sin(x)$

[ИСН]

integral2009 в сообщении #257252 писал(а):

А как их объединить, степени у $x$ и $\lambda$ разные...

А у $x$ и $\sqrt\lambda$?

[integral2009]

ИСН, спасибо)))
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\lambda^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{(\sqrt{\lambda}x)}^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}sh(\sqrt{\lambda}x)$
Правильно?)

[venco]

Правильно.

[integral2009]

Спасибо)))