Дробно-рациональная функция

[Sasha2]

Допустим есть некоторая дробно-рациональная функция, которая при преобразованиях
$x->\frac{1}{x}$ и $x->(1-x)$ переходит сама в себя.

Верно ли, что тогда если a ее корень, то тогда корнями этой функции будут и числа:

$a, \frac{1}{a}, (1-a), 1-\frac{1}{a}, \frac{a-1}{a}, \frac{a}{a-1}$?

Сомнение вызывает корень $\frac{a}{a-1}$. Вместо него автор указывает корень $\frac{a}{1-a}$.
Но почему, никак не пойму.

[EtCetera]

Стрелочку лучше оформлять вот так: $\to$.
По-видимому, автор просто ошибся (или была допущена опечатка).
P.S. Я как ни вглядывался, так и не смог рассмотреть различия между 4-м и 5-м корнями...

[Sasha2]

Это уже моя опечатка.

Вместо четвертого или пятого корня должно быть прото $\frac{1}{1-a}$

Тогда корней 6.

Но все равно, скорее ошибка у меня, чем у автора, только вот где?

[EtCetera]

Обозначим
$x\to \dfrac{1}{x}$ (1)
$x\to 1-x$ (2)
Тогда
$a\overset{1}{\to}\dfrac{1}{a}\overset{2}{\to}1-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-1}{a}\overset{1}{\to}\dfrac{a}{a-1}$,
т.е. если $a$ - корень, то и $\dfrac{a}{a-1}$ - тоже корень.
М.б. я просто не правильно понял условие?
Кстати, откуда задача?

[Sasha2]

Задача из Прасолова

Вот полный текст:

Решить уравнение: $\frac{(x^2-x+1)^3}{x^2*(x-1)^2}=\frac{(a^2-a+1)^3}{a^2*(a-1)^2}$, где $a>1$

В том то все и дело, что если a>1, то тогда все корни, указываемые автором (не мной) различны.
Если принимать мое решение, то тогда при a=2 возникают проблемы.
Одним словом, так просто все шесть корней этого уравнения шестой степени не найдешь.

[ewert]

Вообще-то задача решается в лоб. После замены $t=x^2-x$ и $b=a^2-a$ получается кубическое уравнение ${(y+1)^3\over y^2}={(b+1)^3\over b^2}$, один из корней которого ($y=b$) известен, ну и потом кой-какие ещё заклинания...

А вот насчёт инвариантности относительно замены $x$ на ${1\over x}$ я чего-то не понял.

[EtCetera]

Sasha2
Данное уравнение имеет либо 3 (при $a=-1, \dfrac{1}{2}, 2$) корня (точнее, 3 пары одинаковых корней), либо 6 (при остальных возможных $a$). И ничего страшного в этом нет. Авторский же корень просто не удовлетворяет уравнению.

-- Сб окт 31, 2009 12:18:56 --

ewert

ewert в сообщении #256924 писал(а):

А вот насчёт инвариантности относительно замены $x$ на ${1\over x}$ я чего-то не понял.

При указанных Sasha2 преобразованиях функция $y(x)=\dfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(1-x)^2}$ переходит в себя, поэтому из того, что $x=a$ - корень уравнения, следует и то, что остальные пять вариантов - тоже корни. А так как уравнение как раз 6-го порядка, то это все корни данного уравнения. Правда, при определенных $a$ некоторые корни равны, но это вроде бы хорошо согласуется с поведением самой функции.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #256914 писал(а):

В том то все и дело, что если a>1, то тогда все корни, указываемые автором (не мной) различны.Если принимать мое решение, то тогда при a=2 возникают проблемы.

При $a\in(1;2)$ будет один вещественный корень и два сопряжённых комплексных в области $\mathop{\mathrm{Re}}x>{1\over2}$, левее -- симметрично.

При $a>2$ будут шесть вещественных корней, симметрично расположенных относительно $x={1\over2}$.

Соответственно, при $a=2$ будут два простых и два двукратных симметрично расположенных вещественных корня.

-- Сб окт 31, 2009 13:30:49 --

EtCetera в сообщении #256926 писал(а):

При указанных Sasha2 преобразованиях функция $y(x)=\dfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(1-x)^2}$ переходит в себя,

Хм.

$y({1\over x})=\dfrac{({1\over x^2}-{1\over x}+1)^3}{({1\over x^2})(1-{1\over x})^2}=\dfrac{{1\over x^6}(x^2-x+1)^3}{{1\over x^4}\cdot x^2(1-x)^2}=\dfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(1-x)^2}$ ?...

[Sasha2]

Ну одним словом, я так понял к решениям господина Прасолова его же собственных задач, равно как и к их подбору, надо относится весьма критически.
Ляпов у него значит хватает.
Потому как (ну естественно я не беру такой способ решения, как просто перебор и деление столбиком двух многочленов, что естественно позволяет найти все решения данного уравнения, приложив определенные усилия, а подобрать такие решения по внешнему виду тоже не особенно трудно) если начать разбирать решение (а оно у него основано на инвариантности этой функции при определенных преобразованиях и на том, что все шесть получаемых таким образом чисел, отличны друго от друга), то вот и вскрывается его некорректность.

[ewert]

ewert в сообщении #256932 писал(а):

$y({1\over x})=\dfrac{({1\over x^2}-{1\over x}+1)^3}{({1\over x^2})(1-{1\over x})^2}=\dfrac{{1\over x^6}(x^2-x+1)^3}{{1\over x^4}\cdot x^2(1-x)^2}=\dfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(1-x)^2}$ ?...

Прошу прощения. Я ошибся и напрасно оклеветал тов. Прасолова. Действительно, инвариантно (я один квадратик зачем-то зевнул).

И комплексных корней там действительно не будет (я легкомысленно множества значений ветвей проигнорировал, а они ведь нечаянно совпадают). Действительно, при $a=2$ получаются три кратных корня (один из которых в 1/2), а при остальных -- все шесть разные (и симметричные относительно 1/2, разумеется).

Ушёл посыпать голову пеплом.

[Sasha2]

Да инвариантно то оно будет, кто бы спорил.
Дело в том, что получается уравнение 6-й степени и эта инвариантность получает получить шесть значений (написаний во всяком случае) этих корней. Если все корни различны, то, конечно все в порядке, тогда все решения найдены. А если нет, то значит надо искать все решения НЕ ЭТИМ СПОСОБОМ.
А вот кратность корней эта инваринтность, к сожадению, установить не позволяет.

[RIP]

Sasha2 в сообщении #257014 писал(а):

А вот кратность корней эта инваринтность, к сожадению, установить не позволяет.

Напротив, отлично позволяет. Ваши рассуждения показывают, что
$(x^2-x+1)^3-\frac{(a^2-a+1)^3}{a^2(a-1)^2}x^2(x-1)^2=(x-a)(x-1/a)\ldots$,
если только все скобки справа различны. По непрерывности (например) получаем, что это справедливо и при остальных значениях $a$.