Оценка одного выражения

[ewert]

Karoed в сообщении #256444 писал(а):

Извиняюсь, не уточнил a,b - это параметры, в моей настоящей задаче они фиксированы и a = 0, b = Pi/4

Это другое дело, тогда -- действительно плюс.

Дело в том, что Ваш функционал (на данной области определения) -- это квадратичная форма оператора $-{d^2\over dx^2}-I$ с граничными условиями $u(a)=0$ и $u'(b)=0$. Соответствующие собственные функции суть $u_k(x)=\sin{\pi(2k+1)(x-a)\over2(b-a)}$, $k=0,1,2,\ldots$. Соответственно, наименьшее собственно число -- это ${\pi^2\over4(b-a)^2}-1$. Соответственно, оператор строго положителен тогда и только тогда, когда $b-a<{\pi\over2}$.

Впрочим, поскольку у Вас промежуток уменьшен с запасом -- возможно, имелся в виду какой-нибудь другой способ доказательства.

[RIP]

mihiv в сообщении #256580 писал(а):

RIP писал(а):

Тогда интеграл всегда положительный, кроме случая $h(t)=0$, что следует из тождества
$\int_0^{\pi/4}(h'(t)^2-h(t)^2)\,dt=\int_0^{\pi/4}\bigl(h'(t)+h(t)x(t)\bigr)^2dt$
при подходящем выборе $x(t)$, которую предлагаю Вам подобрать самостоятельно.

Функцию $x(t)$ удается подобрать не всегда, так как если $h(t)=\cos(4t)$, то при $t=\dfrac{\pi}8$ подынтегральное выражение отрицательно.

Во-первых, в точке $\pi/8$ подынтегральное выражение как раз положительно, но не суть.
Я не утверждаю, что найдётся функция $x(t)$, чтобы подынтегральные выражения совпадали (это, очевидно, не так). Совпадать должны интегралы. Функция $x(t)$ ищется стандартно, как решение соответствующего уравнения Риккати (с начальным условием $x(\pi/4)=0$).

[mihiv]

RIP,ваша идея очень хорошая, спасибо за разъяснение!

[Karoed]

RIP
Спасибо, интересный метод.
Но как получены начальные условия - $x(\pi/4)=0$ ?

-- Пт окт 30, 2009 19:22:27 --

Цитата:

Функция $x(t)$ ищется стандартно, как решение соответствующего уравнения Риккати (с начальным условием $x(\pi/4)=0$).

Не могли бы вы уточнить как получить здесь ур-ие Риккати.

[RIP]

Метод заключается в следующем. Пусть мы хотим доказать, что
$\int_a^b\bigl(A(t)h(t)^2+2B(t)h(t)h'(t)+C(t)h'(t)^2\bigr)\,dt\ge0$
для произвольной $h\in C^1[a;b]$, возможно, с граничными условиями вида $h(c)=0$, $c=a$ или/и $b$. Пусть $x(t)$ --- произвольная непрерывно дифференцируемая на $[a;b]$ функция, удовлетворяющая условию $x(a)h(a)=x(b)h(b)=0$. Если нам задано $h(a)=0$, то $h(a)x(a)=0$ выполнено автоматически, в противном случае требуем $x(a)=0$. Аналогично для $b$. Добавим к нашему интегралу такой интеграл
$0=\int_a^b\bigl(x(t)h(t)^2\bigr)'dt=\int_a^b(x'h^2+2xhh')\,dt$,
получим
$\int_a^b\bigl((A+x')h^2+2(B+x)hh'+Ch'^2\bigr)\,dt$.
Пусть $C(t)>0$ всюду. Попробуем добиться того, что подынтегральное выражение стало полным квадратом. Получаем уравнение Риккати
$C(t)(A(t)+x'(t))-(B(t)+x(t))^2=0$.
Если такая $x(t)$ найдётся, то мы счастливы.

[Karoed]

RIP
Спасибо за доходчивое обьяснение