Аксиоматика вещественных чисел

[Mathusic]

Здравствуйте.
Наткнулся на такой "курьёз", что вроде бы $\mathbb{Q}$ удовлетворяет всем аксиомам $\mathbb{R}$.
(Аксиоматика - $\mathbb{R}$ - непрерывное, линейно упорядоченное поле (например как у Зорича), 16 штук).
Всё, вроде бы, верно, и даже аксиома полноты (непрерывности), хотя насчёт её, пожалуй, наверно и могут возникать сомнения.
Как тут быть?

[Maslov]

Полноты-то как раз и нет. Например, последовательность рациональных приближений $\sqrt{2}$ в $\mathbb{Q}$ не сходится.

[Mathusic]

Maslov в сообщении #255957 писал(а):

Полноты-то как раз и нет. Например, последовательность рациональных приближений $\sqrt{2}$ в $\mathbb{Q}$ не сходится.

Всё, понял, нашёл пример.

[PAV]

Тема переносится из дискуссионного раздела в учебный.

[Профессор Снэйп]

Тут вот люди пишут, что из полноты следует архимедовость. Неужели правда? Или там полнота понимается в каком-то особом смысле?

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #255970 писал(а):

Тут вот люди пишут, что из полноты следует архимедовость. Неужели правда?

Правда. Просто разбиваем $\mathbb R$ на два подмножества: числа, большие любого натурального, и все остальные...

[Maslov]

Профессор Снэйп в сообщении #255970 писал(а):

Тут вот люди пишут, что из полноты следует архимедовость. Неужели правда?

Вроде в нестандартном анализе строится неархимедово расширение $\mathbb{R}$, являющееся, тем не менее, полным.

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #255980 писал(а):

Просто разбиваем $\mathbb R$ на два подмножества: числа, большие любого натурального, и все остальные...

Как всегда, всё тривиальное просто

-- Ср окт 28, 2009 21:02:27 --

Хм... Странно, я вот как-то до сих пор сильно не задумывался над аксиоматикой $\mathbb{R}$, а вопрос, конечно, интересный. Ту же самую полноту можно определять разными способами:

1) Существование супремума у любого непустого ограниченного сверху множества.

2) Существование общей точки у последовательности вложенных отрезков.

3) Существование общей точки у множества отрезков, линейно упорядоченных отношением включения.

4) Существование общей точки у всех элементов фильтра, имеющего базу из замкнутых множеств.

В случае архимедовости все перечисленные подходы эквивалентны. А если упорядоченное поле не архимедово? RIP убедительно продемонстрировал, что в первом смысле оно полным быть не может. Может ли оно быть полным в каком-либо из оставшихся смыслов (в частности, во втором)?

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #255996 писал(а):

2) Существование общей точки у последовательности вложенных отрезков.
3) Существование общей точки у множества отрезков, линейно упорядоченных отношением включения.
4) Существование общей точки у всех элементов фильтра, имеющего базу из замкнутых множеств.

Условию 2) удовлетворяет ультрастепень $\mathbb R^{\mathbb N}/\mathcal U$ по любому неглавному ультрафильтру $\mathcal U\subset\mathcal P(\mathbb N)$.
Фильтр с базой $\bigl\{[n1,x] :\, n\in\mathbb N,\ x\approx{+\infty}\bigr\}$ служит контрпримером к 4).
Насчет 3) надо подумать...