Параметризация пересечения конусов.

[Megarovaken]

Здравствуйте!
Надеюсь на вашу помощь в решении одной задачи. (Матан, второй курс).
Нужно параметризовать линию пересечения двух конусов вращения, если углы при вершинах этих косинусов по 90 градусов, их оси симметрии перпендикулярны, и точка пересечения этих осей совпадает с вершиной одного конуса и находится на расстоянии 5 от вершины другого.

Я представлял себе это так: вершина одного конуса - начало координат, а ось симметрии: - $oz$. Вершина другого конуса сдвинута по оси $oy$ на 5, и эта же $oy$ - ось симметрии.

Пересечение будет как я понимаю, наклоненный на 45 градусов цилиндр. Нужно его параметризовать. И вот как это сделать, я не совсем понимаю...

Уравнение первого конуса: $\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}$. Второго: $\dfrac{(y+5)^{2}}{c^{2}}=\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{a^{2}}$

Можно попробовать их параметризовать, перейдя к обобщенным цилиндрическим координатам, но не думаю, что это что-то даст...

Спасибо !

[ewert]

Уберите все знаменатели, раз вершины по 90 градусов.

[Megarovaken]

ммм... то есть пересечением будет круговой цилиндр? Радиус, которого, получается будет: $\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$ ?

[Yu_K]

Megarovaken в сообщении #255841 писал(а):

ммм... то есть пересечением будет круговой цилиндр? Радиус, которого, получается будет: $\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$ ?

- но это же не линия...

[Megarovaken]

ну, как я полагаю, в задании имелось виду, параметризовать все-таки фигуру, которая получается при пересечении...
Полагаю, это будет как-то так:
$\begin{cases} x = \dfrac{5\sqrt{2}}{4} \cos(t) \\ y = \dfrac{5\sqrt{2}}{4} \sin(t) \\ z = ... \end{cases}$

А вот как определить $z$ что-то не могу сообразить...

[_v_l]

Megarovaken в сообщении #255841 писал(а):

ммм... то есть пересечением будет круговой цилиндр?

Yu_K в сообщении #255862 писал(а):

- но это же не линия...

Megarovaken в сообщении #255874 писал(а):

ну, как я полагаю, в задании имелось виду, параметризовать все-таки фигуру, которая получается при пересечении...

Полагаете правильно, только вот "фигура" ваша, ну,..., короче, не цилиндр.

Вы уже на втором курсе , а что получается при пересечение поверхностей не знаете. Возьмите, например, сферу и плоскость, что получиться. Дальше, вспомните, что обе "фигуры" --- поверхности, как и конус.

Megarovaken в сообщении #255874 писал(а):

Полагаю, это будет как-то так:
$\begin{cases} x = \dfrac{5\sqrt{2}}{4} \cos(t) \\ y = \dfrac{5\sqrt{2}}{4} \sin(t) \\ z = ... \end{cases}$

Вот смотрите, набирать формулы в \LaTeX'еховском синтаксисе умеете, а отличить кривую от цилиндра --- нет.
То что вы написали при фиксированном $z$ будет окружностью.


P.S. Кстати, красивая кривая, чем-то похожа на параболу .

[Megarovaken]

_v_l
да:) спасибо, наконец-то вроде представил, что это будет...
но вот как это параметризовать?... вообще с чего можно начать?

[_v_l]

Megarovaken в сообщении #255902 писал(а):

вообще с чего можно начать?

Записать систему из уравнений поверхностей?

Попытаться разрешить её, выразив две из трёх переменных через третью?

[vvvv]

Хоть уважаемый ewert говорит, что рисунки вредны......

[alekcey]

Megarovaken в сообщении #255837 писал(а):

Здравствуйте!
Надеюсь на вашу помощь в решении одной задачи. (Матан, второй курс).
Нужно параметризовать линию пересечения двух конусов вращения, если углы при вершинах этих косинусов по 90 градусов, их оси симметрии перпендикулярны, и точка пересечения этих осей совпадает с вершиной одного конуса и находится на расстоянии 5 от вершины другого.

Я представлял себе это так: вершина одного конуса - начало координат, а ось симметрии: - $oz$. Вершина другого конуса сдвинута по оси $oy$ на 5, и эта же $oy$ - ось симметрии.

Пересечение будет как я понимаю, наклоненный на 45 градусов цилиндр. Нужно его параметризовать. И вот как это сделать, я не совсем понимаю...

Уравнение первого конуса: $\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}$. Второго: $\dfrac{(y+5)^{2}}{c^{2}}=\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{a^{2}}$

Можно попробовать их параметризовать, перейдя к обобщенным цилиндрическим координатам, но не думаю, что это что-то даст...

Спасибо !

Думаю, Вам надо сначала исключить из уравнений x, что просто, после чего Вы получаете уравнение гиперболы относительно z и y – это проекция кривой на соответствующую плоскость. После чего, зная параметрическое задание гиперболы, Вы подставляете в любое из уравнений выражение для z и y, и получаете выражение для x …

[_v_l]

vvvv в сообщении #256052 писал(а):

Хоть уважаемый ewert говорит, что рисунки вредны......

Я, конечно, не ewert, но рисунки вы привели хорошие. Однако, здесь не нарисована линия пересечения, отдельно конусы, отдельно (некоторая) линия (Хотел было исправить текст, когда посмотрел на рисунок по ссылке, но решил, лучше оставить. Понять что на первом рисунке ещё приведена и линия пересечения, совсем уж невозможно. Если бы вы рисовали от руки, я бы вас заставил также разукрасить конусы, а потом спросил, "ДЛЯ ЧЕГО ВАМ ЦВЕТ?" Это к вопросу, зачем делать лишную работу.). Как они связаны, непонятно. Автор топика не поймёт при чём тут эти два рисунка и его задача (параметризация).

За рисунки vvvv получает 4, хотя они отношения к задаче не имеют.

По теме: составив систему, можно быстро избавиться от одной из переменных, получив связь между двумя другими. Из последнего найдём как зависит одна из переменных через другую. Последуюю объявляем параметром и записываем систему уравнений, описывающих кривую.

P.S. Я сначала тоже не понял, что линия будет неограниченной, пришлось взять ручку, листок бумаги и стало очевидно, что кривая не замкнутая, вот если бы угол пересечения между осями был не прямым...

[vvvv]

Ув.,_v_l, если посмотреть внимательно, то можно увидеть линию пересечения конусов на левом рисунке
(она красная с черными точками).На правом рисунке изображена отельно эта же линия пересечения (только повернута).
Я не думаю, что Ваши посты помогут топстартеру записать параметрические уравнения линии пересечения.
Вот еще рисунки (для тех у кого проблема со зрением).

[Shtirlic]

Megarovaken
Запишите уравнения конусов в параметрическом виде, прировняйте соответственно x,y,z и решите систему относительно параметров, дальше подставте решение в какое либо уравнение конусов.

-- Чт окт 29, 2009 21:07:00 --

Цитата:

Можно попробовать их параметризовать, перейдя к обобщенным цилиндрическим координатам, но не думаю, что это что-то даст

Даст, как делать я сказал, у вас будет 4 неизвестных и 3 уравнения, находим 3 неизвестных через четвертую, а дальше подставляете решения в уравнения конусов и получите параметрическое уравнение линии.

[vvvv]

Если быть точным, то картинка будет такая и кривая имеет две ветви. (на картинке изображена одна ветвь)

P.S. Последняя подсказка самая толковая - я , собственно, так и делал

[Megarovaken]

Огромное спасибо все за советы, отдельное спасибо vvvv за рисунок...
Но вот до конца во всем разобраться я еще не совсем могу
Как я понимаю, параметризаций косинусов будет:
$\begin{cases} x = r \cos{t} \\ y = r \sin{t} \\ z = z \end{cases}$ - первый
$\begin{cases} x = r \cos{t} \\ y = y \\ z = r \sin{t} + 5 \end{cases}$ - второй...
Хотя мне кажется, что-то я не правильно понимаю...