Помогите найти точку функции

[sendspam]

Добрый день.
Помогите пожалуйста решить следующую несложную проблему:
Задана функция y[n] в дискретном виде посредством n отсчетов.
Своим видом функция y[n] напоминает 1/x.
Как найти некую точку К?

Что это за точка, постараюсь объяснить:
Это точка, в которой функция меняет характер убывания с быстрого на медленный.
Т.е. это как бы точка перегиба функции ("как бы" - потому что того, что называют точкой перегиба НЕТ, поскольку кривая лежит всегда по одну сторону от касательной).

Если идти влево от нее ( x-->0), то функция будет иметь асимптотой ось OY
Если идти вправо от нее ( x-->бесконечность), то функция будет иметь асимптотой ось OX

Какие могут быть варианты нахождения этой точки? Если не знаете ответа для дискретного случая, но знаете для непрерывного- все равно расскажите.

Если есть несколько различных методов- предложите их пожалуйста как можно больше.
Просто, некоторые могут не получиться. Дело в том, что функция эта строится из экспериментальных данных и в общем случае может быть НЕ гладкой.

Сам пока попробовал вот что, но это не дало результатов:
1. Нашел кривизну в каждой точке
2. Развернул график функции на 45 градусов против часовой стрелки и нашел минимум у такой функции.

Второй варинат вроде бы дал результат, но встает вопрос 1- о трудоемкости операции.
2- о ее адекватности, т.е. нашел ли я именно ту точку, что хотел, и как доказать, что вращать надо было именно на 45 градусов?

[photon]

sendspam писал(а):

Это точка, в которой функция меняет характер убывания с быстрого на медленный.

1) Сформулируйте математически критерий перехода от одного характера к другому.
2) Используйте тег math

[sendspam]

Как точно сформулировать матаматический критерий- не знаю.
Знал бы- уже задачу решил бы
Поэтому и дал несколько объяснений того, чего хочу найти.

Еще забыл написать- необходимо решение задачи только для положительных X.

Извините, что объясняю нечетко - просто точнее не могу.

[Zo]

sendspam писал(а):

Как точно сформулировать матаматический критерий- не знаю.
Знал бы- уже задачу решил бы

Вам надо определиться - какой интервал значений производной будет для Вас означать быстрый характер убывания, а какой - медленный.

[sendspam]

Через производные решать не очень- то получается, ибо функция негладкая.
В точных математических определениях она является неубывающей.
Поскольку негладкая, то имеет много перегибов, точек в которых производная равна 0.

Постановка задачи будет примерно звучать так: точка, в которой касательная к графику составляет с осями углы по 45 градусов.
Однако, из-за негладкости изначального графика, в таком виде вычислить не представляется возможным, т.к. подобных точек может быть несколько, да и находиться они могут где угодно.

[photon]

sendspam писал(а):

Постановка задачи будет примерно звучать так: точка, в которой касательная к графику составляет с осями углы по 45 градусов.

sendspam писал(а):

Второй варинат вроде бы дал результат, но встает вопрос 1- о трудоемкости операции. 2- о ее адекватности, т.е. нашел ли я именно ту точку, что хотел, и как доказать, что вращать надо было именно на 45 градусов?

Если Вы видите решение задачи именно таким - считаете, что минимум функции при повороте на 45 градусов это и есть решение, то 1) Трудоемкость невелика; 2) Это Вы даете определение, поэтому доказывать ничего не нужно - "по определению".

А не могли бы поподробнее, для чего это нужно? Может быть удастся выработать критерий перехода от одного к другому более обоснованно?

[sendspam]

По определению- не очень хороший вариант, ибо надо все же на чем-то основываться. За эти пару дней я вот что надумал, начиная от исходной задачи:

Изначально задача ставилась так:
найти всплеск на фоне общего, фонового сигнала.
Для этого модуль сигнала рассекаем прямыми, паралелльными оси времени от 0 и выше и получаем вышеописанную функцию как зависимость числа точек выше среза от положения среза.
Далее я посчитал, что та самя точка K и есть тот срез, который отделит фон от всплеска. Т.е. все, что ниже секущей- фон, все что выше- всплеск. Далее надо искать эту точку.

Подумав немного, я решил, что это- точка, в которой касательная к графику составляет с осями углы по 45 градусов.
Поскольку в таком виде задачу решать не очень удобно из-за негладкости функции, то если повернуть график на -45 градусов, то задача переформулирется: найти точку, в которой касетльная параллельная оси OX. Следовательно, производная равна 0. Значит, это некая точка экстремеума. А применительно к моей задаче- минимума. И вот теперь остался вообщем-то последний шаг: какой из минимумов выбрать, если их несколько. Вообщем ясно, что это самое минимальное значение функции, но вот как это аналитически показать?

Ну, как Вам мои размышления? Я все правильно думаю, или не очень?

[photon]

Брр.
1) А почему нельзя искать всплеск просто по максимуму сигнала? Если отдельные точки выскакивают из шума вверх, то искать не сам максимум, а $t_1$, при котором получается максимум интеграла модуля сигнала в пределах от $t_1$ до $t+T$, где $T$ длительность всплеска (если она известна), либо просто некая длительность, которая должна быть желательно не больше длительности всплеска (во всяком случае не на много) и больше длительности шумовых всплесков.
2) Иногда, для выделения сигнала на фоне шума удобно переходить из временной в частотную область

[sendspam]

В принципе, задача ставится как нахождение переднего фронта всплеска. Длительность всплеска может быть разной, хотя в принципе, можно из имеющихся данных вяснить диапазон длительностей, только вот поможет-ли это?
Поиск просто по максимумам отпадает совсем, искать максимальную площадь - по-моему в данном случае малореально, поскольку длительность всплеска может быть различной.

Может я чего не понимаю, или как-то узко мыслю?


Безусловно, частотное разделение очень полезно, но в данном случае не поможет, т.к. 1- частотное наполнение спектра всплеска неизвестно, а кроме того, выборка очень мала, значит частотное разрешение получится совсем неудовлетворительное. (разница между линиями порядка 500 Гц.)

Вообще, для моей задачи лучше всего подходят вэйвлеты, но
1. Это трудоемкая операция
2. Для получения хорошего результата нужно соорудить свой вэйвлет
3. Я пока еще не до конца разобрался с теорией вэйвлетов.
4. Хочется реализовать алгоритм как можно быстрее

[photon]

sendspam писал(а):

скать максимальную площадь - по-моему в данном случае малореально, поскольку длительность всплеска может быть различной.

Да уж: по амплитуде Ваш "всплеск" может быть меньше шумов, по длительности - сопоставим, и по частоте - тоже не выделяется... Тогда нет оснований говорить, что это искомый "всплеск", а не какое-то очередное шумовое проявление.

Я бы все-таки попытался поработать с площадью. Вы можете оценить снизу его длительность?

Можно еще по другому: заапроксимировать Ваш сигнал чем-то гладким так, чтобы ушли шумовые колебания, а затем просто искать Ваш всплеск по максимуму производной (если передний фронт - то производная отрицательная и искать минимум - он должен лежать где-то на переднем фронте всплеска).

sendspam писал(а):

(разница между линиями порядка 500 Гц.)

Это ни о чем не говорит читателю, потому что неизвестно, в каком диапазоне мы с Вами работаем.

[sendspam]

photon писал(а):

Да уж: по амплитуде Ваш "всплеск" может быть меньше шумов, по длительности - сопоставим, и по частоте - тоже не выделяется... Тогда нет оснований говорить, что это искомый "всплеск", а не какое-то очередное шумовое проявление.

Нет, по амплитуде мой всплеск выше фонового сигнала. По длительности, в общем случае любой, но для частного случая можно задать примерные ограничения. По частоте выделяется (и поэтому могут помочь вэйвлеты), но использовать Фурье-преобразование для выделения частот не получается, из-за низкого разрешения.
В моем нынешнем алгоритме постулируется, что искомый всплеск- это самый широкий из выделенных. Кроме того, единичные выбросы подавляются различными фильтрами (медианный, скользщее среднее и прочее)
Для тех конкретно тех данных, что уже есть, результат вполне приемлимый. Хотя остается один вопрос из серии "а вдруг?". Это именно тот вопрос, что вы написали выше: если вдруг в сигнале окажется два всплеска, оба будут сравнимы по длительности и амплитудам, то как быть? Пока видится только два ответа: 1- различение по спектру 2- по форме сигнала. Но, и там, и там необходимо эти знания иметь... А для первого случая еще и уметь выделить (как уже было описано выше, Фурье малопригоден).

photon писал(а):

Я бы все-таки попытался поработать с площадью. Вы можете оценить снизу его длительность?

Да, могу примерно оценить и минимальну, и максимальную длительность. Что это даст?
В принципе, можно исходя из знания минимальной длительности, взять некое окно, равное минимальной длительности. Далее это окно двигать и вычислять площадь под сигналом в окне, или, интегрировать квадрат сигнала в окне (такая операция даст рассчет энергии сигнала, т.е. появляется некий физический смысл). Можно даже построить график, но только вот я боюсь, что такой способ даст на выходе некое подобие огибающей сигнала, и придется опять решать ту же самую задачу, только для другой функции, правда, более сглаженной.

Или с площадью можно еще что-то придумать?

photon писал(а):

Можно еще по другому: заапроксимировать Ваш сигнал чем-то гладким так, чтобы ушли шумовые колебания, а затем просто искать Ваш всплеск по максимуму производной (если передний фронт - то производная отрицательная и искать минимум - он должен лежать где-то на переднем фронте всплеска).

А вот эта идея оригинальная. Пока она мне кажется не до конца понятной (наверное, больше в плане реализации) но подумать стоит!

photon писал(а):

sendspam писал(а):

(разница между линиями порядка 500 Гц.)

Это ни о чем не говорит читателю, потому что неизвестно, в каком диапазоне мы с Вами работаем.

Я бы сказал, что не говорит читателю не потому что неизвестен даиапазон, а потому что неизвестна задача, и следовательно, допустимое разрешение