Сравнение мощностей!

[RFZ]

Здраствуйте! Все мы знаем что множество рациональных чисел и натуральных чисел счётно! Но как доказать что для любого натурального числа $n$ $R^n$ эквивалентно $R$!

[ha]

Самое трудное - доказать, что $R^2$ эквивалентно $R$. А дальше - по индукции: если $R^n$ эквивалентно $R$, то $R^{n+1}=R\times R^n$ эквивалетно $R\times R=R^2, а значит эквивалентно $R$.
PS Кстати, есть более общая теорема, что $A^2$ эквивалетно $A$, если $A$ бесконечно, но она требует аксиомы выбора и соотвествующей нетривиальной математики.

[PAV]

Тема переносится в учебный раздел, здесь нет дискуссионных вопросов.

[Профессор Снэйп]

RFZ в сообщении #255850 писал(а):

Но как доказать что для любого натурального числа $n$ множество $\mathbb{R}^n$ равномощно $\mathbb{R}$?

1) Докажите, что $\mathbb{R}$ равномощно $[0,1]$.
2) Докажите, что $[0,1]$ равномощно $[0,1]^2$.
3) Покажите, что $|\mathbb{R}^n| = |\mathbb{R}| \Rightarrow |\mathbb{R}^{n+1}| = |\mathbb{R}|$.

Если какой-то из пунктов вызывает затруднения --- спрашивайте дальше

[RFZ]

Большое спасибо! Я вот разобрал первые два свойства! Но не понял третье свойство! как?

[ИСН]

Плоскость - это всё равно что прямая.
Оруэлл - это писатель.
Значит, пространство - это плоскость.