Найти область сходимости ряда

[warezhunter_]

Не могу решить пример по нахождению области сходимости ряда:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n-5}{5n^3+4}(7x+1)^n$
Применяю признак Даламбера, получаю следующее:
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(3(n+1)-5)(7x+1)^{n+1}(5n^3+4)}{(5(n+1)^3+4)(3n-5)(7x+1)^n}$
А что можно сократить, не понимаю.

[gris]

Сократить скобки с $x$. А потом поделить числитель и знаменатель на $n^4$

[ewert]

И не забыть поставить модуль.

[warezhunter_]

Если сократить скобки с $x$, то получится следующее:
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(3(n+1)-5)(7x+1)(5n^3+4)}{(5(n+1)^3+4)(3n-5)}$
А чтобы на $n^4$ сократить, то надо скобки раскрывать?

[gris]

можно не раскрывать. Делить скобки на $n^3$ и $n$ соответственно. Или же просто определить коэффициент при старшей степени.

[warezhunter_]

Так что ли:
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^4(3(1+\frac{1}{n})-5)|7x+1|(5+\frac{4}{n^3})}{n^4(5(1+\frac{1}{n})^3+\frac{4}{n^3})(3-\frac{5}{n})}$
И потом подставляем вместо $n=\infty$?

[gris]

Сокращаем на $n^4$ и подставляем вместо $1/n$ ноль. В соответствии с правилами предельного перехода. А потом приравниваем получившееся выражение известно чему. В числителе пятёрочку забыли разделить в первой скобке.

[Sintanial]

А если делать по Коши-Адамару, то не проще ли будет ?
$\frac {1}{R}=\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{ \left| \frac{3n-5}{5n^3+4} \right|}=\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{3-\frac{5}{n}}{n^2(5+\frac{4}{n})}}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{3^\frac{1}{n}}{n^\frac {2}{n}5^\frac{1}{n}}}=1 => \frac 1 R=1$$=>R=1$ Ну а дальше как обычно ряд сходится в кругу $ \left| 7x+1 \right|<R=> -\frac 2 7<x<0$ осталось только исследовать на концах данного интервала...

[ewert]

Sintanial в сообщении #255621 писал(а):

А если делать по Коши-Адамару, то не проще ли будет ?

Будет гораздо хуже, чем по Даламберу. Т.е. в конце-то концов ровно на то же и выйдем, разумеется, но -- с неоторыми пусть и не очень большими, но совершенно никому не нужными мучениями.

[warezhunter_]

По Даламберу получится следующее:
$|7x+1|<1;$
$|7x|<0;$
Тут застопорился:
$|x|<0$ быть не может.

[ewert]

warezhunter_ в сообщении #255820 писал(а):

$|7x+1|<1;$

Конечно.

warezhunter_ в сообщении #255820 писал(а):

$|7x|<0;$

С какой стати?...

И потом не забудьте проверить отдельно сходимость на концах интервала (где ни Даламбер, ни Коши не работают).