Решить уравнение X^2-nY^2=A^2

[KORIOLA]

Господа!
Имеет ли общее решение уравнение:
$X^2-nY^2=A^2$,
где: A-заданное целое число;
n-не является точным квадратом целого числа.
KORIOLA

[bot]

В зависимости от правой части (кстати квадрат там не обязателен) либо решений нет, либо их бесконечно много с простым описанием. Для ознакомления можно взять одну из популярных брошюрок для школьников - Гельфонда, если не ошибаюсь.

[tolstopuz]

bot в сообщении #255120 писал(а):

Для ознакомления можно взять одну из популярных брошюрок для школьников - Гельфонда, если не ошибаюсь.

И увидеть там такой текст:

Цитата:

Не останавливаясь на вопросе, при каких условиях, наложенных на C и A, уравнение (73) будет иметь решение, - вопросе трудном и разрешимом с помощью теории квадратических иррациональностей в алгебраической теории чисел

Я как раз все выходные писал программу решения похожих уравнений, так что у трудностях знаю на собственном опыте. Получилось чуть больше 200 строк на Питоне, зато работает.

$9^2-2\cdot4^2=7^2$
$43^2-2\cdot30^2=7^2$
$249^2-2\cdot176^2=7^2$
$\ldots$
$11^2-2\cdot6^2=7^2$
$57^2-2\cdot40^2=7^2$
$331^2-2\cdot234^2=7^2$
$\ldots$

$19^2-13\cdot5^2=6^2$
$24031^2-13\cdot6665^2=6^2$
$31192219^2-13\cdot8651165^2=6^2$
$\ldots$
$7^2-13\cdot1^2=6^2$
$6883^2-13\cdot1909^2=6^2$
$8934127^2-13\cdot2477881^2=6^2$
$\ldots$
$7^2-13\cdot(-1)^2=6^2$
$2203^2-13\cdot611^2=6^2$
$2859487^2-13\cdot793079^2=6^2$
$\ldots$
$631^2-13\cdot175^2=6^2$
$819019^2-13\cdot227155^2=6^2$
$1063086031^2-13\cdot294847015^2=6^2$
$\ldots$

Кстати, Аллен Хатчер (автор "Algebraic Topology") сейчас ведет курс по теории чисел для младшекурсников и параллельно выкладывает по одной главе новую книгу "Topology of Numbers", где излагает эти вопросы в картинках.

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNpage.html

[KORIOLA]

tolstopuzy
Ваши примеры доказывают, что приведенное мною уравнение
имеет числовое решение. Но имеет ли оно алгебраическое решение?
KORIOLA

[AD]

KORIOLA, Вам уже дали ссылку. Это ОЧЕНЬ известное и изученное уравнение.

-- Вт окт 27, 2009 11:04:44 --

Ну вот еще немножко, если хотите.
http://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation

[tolstopuz]

AD в сообщении #255435 писал(а):

Вам уже дали ссылку. Это ОЧЕНЬ известное и изученное уравнение.

И опять не то. Уравнение Пелля гораздо проще общей задачи представления числа квадратичной формой - все решения получаются из одного фундаментального. Здесь же фундаментальных решений может быть несколько.

KORIOLA в сообщении #255432 писал(а):

Но имеет ли оно алгебраическое решение?

Нет. Но оно имеет алгоритмическое решение, более простое, чем тупой перебор.

Если что, алгоритмы я брал отсюда:

http://lib.mexmat.ru/books/34638