Бывает ли трёхсторонняя поверхность?

[Dialectic]

Как известно бывают одностороннии поверхности (лист Мебеуса) и двухсторонии. А вот бывают ли трёхсторонии поверхности?

[jetyb]

Трехсторонних поверхностей не бывает: поверхность по определению может быть либо односторонней, либо двусторонней.
А определяется это так:
На гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) берется точка $M_0$ и проводится в ней нормаль к поверхности, для нормали выбирается определенное направление (одно из двух возможных). Проводится по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке $M_0$. Рассматривается точка $M$, обходящая этот контур, и в каждом из ее положений проведится нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке $M_0$ в первоначальное положение при любом выборе точки $M_0$ на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторонней.

[Dialectic]

А если речь идёт о поверхностях в 4-пространстве или выше?
А вот занимательное фото:

Как я понял у неё две поверхности. Или одна?

[jetyb]

А где в определении сторонности зависимость от размерности пространства?
На глазок рисунок - перекрученная шина с двумя поверхностями. Но без нормального задания рисунок любой кружки можно с бутылкой Клейна спутать.

[Dialectic]

jetyb в сообщении #255226 писал(а):

А где в определении сторонности зависимость от размерности пространства?

А зачем нам вообще определения? Вы видели эту
абракадабру? Какое у неё определение? Мало ли чего можно встретить в трёхмерном и выше пространствах. Это ж не значит, что если у нас нет определения то и самих диковиных штук нет? Я "поверхность" понимаю интуитивно.
Как некая "оконечность" тела, размерность которого на единицу меньше чем размерность исходного и не имеющая угловатостей. Тут по факту это всё есть.

[Хорхе]

Пять копеек - многосторонность можно действительно понимать по-разному. Если есть сто непересекающихся областей с общей границей, то почему бы не назвать их общую границу стосторонней?

[jetyb]

Не знаю, что подразумеваете интуитивно под словами «односторонний» или «двусторонний» Вы, но общепринятое определение, которое я Вам написал, говорит, что никаких других таких типов поверхности нет. (Есть черные кошки, есть кошки нечерные, - и это все кошки.) Специально для того и изобрели формальный язык, чтобы Вы могли объяснить остальным людям Ваше интуитивное понимание. А иначе люди рискуют просто не понять Ваши мысли.

[Dialectic]

jetyb в сообщении #255254 писал(а):

Специально для того и изобрели формальный язык, чтобы Вы могли объяснить остальным людям Ваше интуитивное понимание. А иначе люди рискуют просто не понять Ваши мысли.

Это не мысли, это созерцание предмета. Умеет ли кто описать его на формальном языке - вопрос иной. Я вообще не уверен, что всякая мысль или всякий объект имеющейся в математике может быть описан формальным способом.
Откуда такая у Вас уверенность?

[Бодигрим]

Dialectic в сообщении #255308 писал(а):

Я вообще не уверен, что всякая мысль или всякий объект имеющейся в математике может быть описан формальным способом.Откуда такая у Вас уверенность?

Потому что математика не имеет дела с неформализованными объектами. Вернее, старается не иметь дела и по возможности предварительно их формализовать.

[JMH]

Для того, чтобы определить колличество сторон поверхности, нужны определение поверхности и определение ее стороны. Каковы они в Вашем случае?

[paha]

Односторонней или двусторонней может быть только вложенная поверхность... более того - вложенная в многообразие на единицу большей размерности

jetyb в сообщении #255196 писал(а):

На гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) берется точка $M_0$ и проводится в ней нормаль к поверхности

нормаль определена только случае коразмерности один

Поясню: двумерная евклидова плоскость в евклидовом пространстве размерности $n\ge 4$ не является ни односторонней, ни двусторонней -- ни в какой точке нет однозначно определенной нормали, плоскость не разделяет ${\mathbb R}^4$ даже локально

Таким образом двусторонность -- свойство подмногообразия, а не многообразия...

P.S. Эта тема перекликается с http://dxdy.ru/topic31505.html


P.P.S.

jetyb в сообщении #255254 писал(а):

Не знаю, что подразумеваете интуитивно под словами «односторонний» или «двусторонний» Вы, но общепринятое определение, которое я Вам написал

таким образом цвЕтность кошек -- это не их качество, а качество нашего взгляда на них
у гладкого многообразия нет нормали, только у вложенного... и размерность пространства нормалей равна коразмерности

(Оффтоп)

P.P.P.S Вот если пофантазировать... с помощью какой-то дополнительной структуры ввести однозначную нормаль ... дофигасторонность может тогда быть

-- Пт мар 26, 2010 01:33:10 --

Dialectic в сообщении #255233 писал(а):

Как некая "оконечность" тела, размерность которого на единицу меньше чем размерность исходного и не имеющая угловатостей. Тут по факту это всё есть.

не всякая поверхность ограничивает, т.е. не всякая может являться "оконечностью" некоего тела