Точный дифференциал

[Alexey1]

Дана дифференциальная форма $Mdx+Ndy=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$. Так как $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$, и $M,N$ дифференцируемы за исключением точки $(0;0)$, то существует функция $u$ такая, что $du=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$ на любой прямоугольной области не содержащей точку $(0;0)$. Однако, $u=arctan(\frac{y}{x})$, и данная функция не дифференцируема на прямой $(0;y)$. В чем причина? Как такое может быть, что на любой прямоугольной области не содержащей $(0;0)$ существует функция с данным дифференциалом, а после того, как функцию нашли она не дифференцируема на $(0;y)$?

[gris]

Может быть дело в том, что арктангенс не определён на оси ординат?
И если его там доопределить по непрерывности ясно чем, то получится дифференцируемая функция?

[Zursmansor]

Локальная интегрируемость формы (существование интеграла в прямоугольнике не содержащем начало координат) не гарантирует ее глобальную интегрирумость (в плоскости с выколотым нулем). Для иллюстрации рассмотрите функцию на окружности с единичной производной по углу. Ее нельзя однозначно продлить на всю окружность, хотя локально (на любой неполной дуге) она существует. Этот и Ваш пример в точности эквивалентны с точностью до замены координат.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #254307 писал(а):

Однако, $u=arctan(\frac{y}{x})$, и данная функция не дифференцируема на прямой $(0;y)$.

Полезно вот ещё о чём подумать. Почему, собственно, Вы решили, что это именно такой арктангенс -- а не, скажем, $(-\arctg{x\over y})$?... Т.е. как конкретно Вы его выводили -- и при каких условиях этот вывод корректен?...

[Alexey1]

Спасибо за ответы.

Zursmansor в сообщении #254309 писал(а):

Локальная интегрируемость формы (существование интеграла в прямоугольнике не содержащем начало координат) не гарантирует ее глобальную интегрирумость (в плоскости с выколотым нулем).

Я не совсем понимаю причём здесь интегрируемость, тем более глобальная. По теореме функция с данным дифференциалом существует, а вот как нашли функцию она не дифференцируема не просто в точке $(0;0)$ а на прямой $(0;y)$. То есть на любом прямоугольнике пересекающем ось $y$ и не содержащем начало координат условия теоремы выполнены но функция не дифференцируема.

gris в сообщении #254308 писал(а):

Может быть дело в том, что арктангенс не определён на оси ординат?
И если его там доопределить по непрерывности ясно чем, то получится дифференцируемая функция?

Да можно доопределить, но как тогда быть с теоремой. Согласно этой теореме, не должно ничего такого быть. Опять, если я её правильно понимаю.

ewert в сообщении #254321 писал(а):

Полезно вот ещё о чём подумать. Почему, собственно, Вы решили, что это именно такой арктангенс -- а не, скажем, $(-\arctg{x\over y})$?... Т.е. как конкретно Вы его выводили -- и при каких условиях этот вывод корректен?...

Да это не я решил. В учебнике дано, в разделе про криволинейные интегралы не зависящие от кривой по которой проводится интегрирование. При выводе автор использует полярные координаты и дифференциал угла равен подинтегральной функции, то есть
$x=rcos(\theta),y=rsin(\theta)$, $d\theta=\frac{-ydy+xdx}{x^2+y^2}$.

[gris]

Alexey1 в сообщении #254445 писал(а):

По теореме функция с данным дифференциалом существует

А что такое функция? Ведь не просто символическая запись. Почему не может быть возможности определения по множествам? В результате получается дифференцируемая функция. Если я определю функцию как $y=x/x$ при $x\neq 0$ и $y=1$ при $x=0$, то у меня всё равно получится тождественная единица.
А у Вас ещё и константа должна добавляться к арктангенсу.
Кроме того, $\arctg x +\arctg (1/x) = \pi/2$ и это равенство верно и в пределе при $x\to 0$ и $x\to \infty$

[ewert]

Alexey1 в сообщении #254445 писал(а):

При выводе автор использует полярные координаты

Это он напрасно. Такие вещи надо интегрировать тупо (если, конечно, целью автора не была специально иллюстрация полярных координат).

Но в любом случае -- следует оговаривать область применимости формулок. Тогда и выйдет: $\arctg{y\over x}$ -- применима при всех $x\neq0$, а $-\arctg{x\over y}$ -- при всех $y\neq0$ (да, с точностью до константы, конечно).

[gris]

Шиша Пангма :восхищение:

[Alexey1]

gris, теперь я понимаю о чем Вы говорите. То есть получить функцию а потом довести её до того вида, который был бы дифференцируем.
Теорема ещё говорит и как найти эту функцию, именно
$u(x,y)=\int_C M(s,t)ds + N(s,t)dt=\int_a^xM(s,b)ds+\int_b^y N(x,t)dt$,
где $(a;b)$ это середина прямоугольника, $C$ кривая соединяющая точки $(a;b)$ и $(x;y)$ двумя отрезками, такими что один параллелен оси $x$, другой $y$.
В данном примере
$\int_a^x M(s,b)ds=\int_a^x \frac{-b}{s^2+b^2}ds=\arctg \frac{a}{b}-\arctg \frac{x}{b}$
$\int_b^y N(x,t)dt=\int_b^y \frac{x}{x^2+t^2}dt=\arctg \frac{y}{x}-\arctg \frac{b}{x}$
Получается $u(x,y)=\arctg \frac{a}{b}-\arctg \frac{x}{b}+\arctg \frac{y}{x}-\arctg \frac{b}{x}$

[gris]

Я имею в виду, что даже если мы возьмем не прямоугольник, а область, не содержащую начало координат, то в ней будет существовать дифференцируемая функция, дифференциал которой равен данному. Единственная с точностью до плюс константы. У этой функции не будет удобного и короткого символьного выражения. Но она же существует.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #254475 писал(а):

Теорема ещё говорит и как найти эту функцию, именно
$u(x,y)=\int_C M(s,t)ds + N(s,t)dt=\int_a^xM(s,b)ds+\int_b^y N(x,t)dt$,
где $(a;b)$ это середина прямоугольника, $C$ кривая соединяющая точки $(a;b)$ и $(x;y)$ двумя отрезками, такими что один параллелен оси $x$, другой $y$.

Это какая-то явно неправильная теорема. Что за занудство. Она должна была предлагать алгоритм, а вовсе не конкретные и никому не нужные формулы.

[Alexey1]

Ну то есть кандидатов на роль этой функции может быть много, но любую из них можно доопределить (если необходимо) таким образом, чтобы она имела необходимый дифференциал, так?

-- Сб окт 24, 2009 20:01:39 --

ewert в сообщении #254480 писал(а):

Это какая-то явно неправильная теорема. Что за занудство. Она должна была предлагать алгоритм, а вовсе не конкретные и никому не нужные формулы.

Здесь спорить не буду. Но теорема именно такая. В утверждении теоремы однако, приводится, только криволинейный интеграл.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #254483 писал(а):

Ну то есть кандидатов на роль этой функции может быть много, но любую из них можно доопределить (если необходимо) таким образом, чтобы она имела необходимый дифференциал, так?

Ну примерно. Фактически утверждение должно звучать примерно так: в некоторой окрестности любой точки существует такая функция, что и т.д.. А уж что будет за пределами той окрестности -- это уж как бог положит.

[Alexey1]

И ещё такой вопрос. Почему автор говорит, что нельзя подобрать область такую, чтобы $arctan(\frac{y}{x}$ была одновременно однозначна и дифференцируема. Где эта функция становится двузначной?

[RIP]

gris в сообщении #254479 писал(а):

даже если мы возьмем не прямоугольник, а область, не содержащую начало координат, то в ней будет существовать дифференцируемая функция, дифференциал которой равен данному.

Занудство, конечно, но на область надо наложить дополнительные условия, например, односвязность.