проверка гипотезы, связанной с вероятностью успеха

[lena-m]

Наблюдателем установлено, что из 90 пешеходов 66 человек выбрали правую дорожку из двух симметричных, при переходе из точки А в точку Б, а 24 левую. Можно ли утверждать, что правая дорожка предпочиталась достоверно чаще?
подскажите как начать..
нашла только что достоверное событие это когда вероятность его появления равна 1. а какое здесь событие?

[Хорхе]

Тут "достоверность" имеет совсем другой смысл.

Вот этот вопрос "можно ли утверждать" явно статистического характера, то есть "можно ли утверждать с такой-то вероятностью". Сия вероятность - уровень значимости некоторого статистического критерия - и определит, каким будет Ваш ответ. А как построить этот самый критерий на заданном уровне значимости, расскажет любой хороший учебник по математической статистике, в разделе про статистические критерии для параметра распределения Бернулли.

[PAV]

Уточню: в этой задаче наблюдается серия испытаний Бернулли с неизвестной вероятностью успеха $p$. Стоит задача проверки гипотезы $p=0.5$ против альтернативы $p>0.5$ по результатам 90 наблюдений, в которых произошло 66 успехов. Ну а далее читайте учебные пособия про задачи проверки гипотез: как более точно поставить вопрос, как решать и так далее. Эта постановка одна из наиболее простых, она разбирается, наверное, везде.

[lena-m]

я решила задачу, но проверяла нулевую гипотезу

$$ p=p_0=0.8$$

против альтернативы $ p\not= p_0$. уровень значимости задали $ \alpha=0.05$
Для проверки гипотезы использовала случайную величину, которая, при справедливости нулевой гипотезы, имеет приближенно нормальное распределение с параметрами $M(u)=0 $ и $ \sigma (u)=1$.
$ u_{nab} = \frac {(\frac m n - p_0)\sqrt n} {\sqrt {p_0q_0}} $ .
где $u_{nab}$ - наблюдаемое значение.
$u_{kp} $ находим из таблицы ф-ции Лапласа

$$ \Phi (u_{kp}) = \frac {(1-\alpha)} 2 $$

если $ |u_{nab}| < u_{kp} $ то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
получила $ u_{nab} =- 1,589 $, $ u_{kp} =1,96$ следовательно принимаем нулевую гипотезу.
можно так? опиралась на метод, описанный в книжке В.Е. Гурмана "Теория вероятностей и матстатистикая статистика".

[faruk]

Из учебно-методологических соображений следует, конечно, аккуратно проводить формулирование и проверку гипотез.
Но что касается этой конкретной задачи, то она решается в одно действие.

$p = 0,5$
$n = 90$

$P(X \geq 66) = 0,00000545$

То есть, вероятность случайности выбора очень мала.

[lena-m]

непонятно поясните, пожалуйста, как вы получили 0,00000545
или в каком напавление думать..

[faruk]

lena-m в сообщении #253853 писал(а):

поясните, пожалуйста, как вы получили 0,00000545

Случайная величина X — это число пешеходов выбравших правую дорожку.
При предположении равновероятности выбора (p=0,5) примерно половина пешеходов должна выбрать правую дорожку ($X \approx 45$). Но чем сильнее X отклоняется от этого значения, тем сильнее можно быть уверенным, что гипотеза (p=0,5) неверна. Но это на словах. А надо определить численное значение вероятности, чтобы не быть голословным.

Вычисляем вероятность попадания X в интервал [66...90]:

$P(X \geq 66) = 0,00000545$ (см. Биномиальное распределение)

Получается очень маленькая вероятность того, что X будет равен 66 или более. Но мы-то это значение (X=66) уже имеем из эксперимента! А это значит, что выбранная гипотеза (p=0,5) неверна, то есть, пешеходы выбирают правую дорожку не случайно.


PS
Оформляйте решение задач так, как требует преподаватель.

[PAV]

lena-m
а почему-таки Вы рассматривали нулевую гипотезу $p_0=0.8$? Ведь в условии задачи эта вероятность ниоткуда не берется, зато значение $0.5$ точно соответствует условию (равновероятный выбор).

[lena-m]

не сильна я в математике и предположила что надо проверить что вероятность равна какому либо значению больше 0,5 (условия нет в задаче для усложнения ) и похоже что решила не правильно..
И если честно не совсем поняла объяснение faruk
если $p=0.5$ то $X\approx45$, веротность $P(X\geq66)$ мала, при этом из эксперимента$X=66$
почему тогда уже на основе того что не выполняется $X\approx45$ нельзя сделать вывод от том что это не случайно..
если бы $P(X\geq66)$ была бы большой (например 0,8) и значение $X=66$ уже имеем из эксперимента, то принимаем гипотезу $p=0.5$??? хотя она равна 0,8?

если я рассуждаю совсем по-детски, можете просто сказать, что мне надо посидеть пару вечеров за книжками, а потом спорить

[faruk]

lena-m в сообщении #254278 писал(а):

почему тогда уже на основе того что не выполняется $X\approx45$ нельзя сделать вывод от том что это не случайно..

Чтобы отвергнуть нулевую гипотезу, нужно быть в уверенным в ее несостоятельности. Эту уверенность мы получаем посредством вычисления вероятности.

lena-m в сообщении #254278 писал(а):

если бы $P(X\geq66)$ была бы большой (например 0,8) и значение $X=66$ уже имеем из эксперимента, то принимаем гипотезу $p=0.5$??? хотя она равна 0,8?

Нулевая гипотеза нужна для того, чтобы ее опровергнуть. Вычисляя вероятность мы или можем опровергнуть нулевую гипотезу, или не можем. Не более того.
В данной задаче мы или можем показать, что $p \neq 0,5$ , или не можем. Но в любом случае речь не идет о том, чтобы доказать, что $p = 0,5$.

[lena-m]

кажется, я поняла свою ошибку - путаю вероятность выбора правой дорожки и вероятность появления события $X\geq66$
Спасибо за разъяснения!
Скажите только, пожалуйста, есть ли смысл в предложенном мною решении задачи.

[faruk]

lena-m в сообщении #254349 писал(а):

Скажите только, пожалуйста, есть ли смысл в предложенном мною решении задачи.

Уровень значимости в задаче не задан.

Но можно решать и исходя из уровня значимости. При этом рассматриваем правостороннюю критическую область, т. е. насколько допустимо отклонение вправо от математического ожидания.

При уровне значимости $\alpha=0,05$ критическая область получается $X>53$, т. е. [54...90]
При уровне значимости $\alpha=0,01$ критическая область получается $X>56$, т. е. [57...90]

Вычислять это можно как непосредственно (биномиальное распределение), так и с помощью приближения через нормальное распределение. Почитайте в учебниках, как делается переход от биномиального распределения к нормальному, и как вычисляется вероятность при нормальном распределении. Суть проверки гипотезы однако не меняется от способа вычисления вероятности.

-- Сб окт 24, 2009 23:47:26 --

Причем, решается обратная задача — по заданной вероятности ищутся значения случайной величины, т. е. если напр. известно $P(X \leq k)=0,95$, то ищется $k$.