векторная алгебра

[AKM]

vonkurt в сообщении #253965 писал(а):

Не могли бы Вы дать немного теории.Не могу понять почему при перемножении ${\sqrt{(\vec c\,,\vec c\,) \cdot (\vec d\,,\vec d\,)}$ вот $cos\beta$ появляется откуда.

$\cos\beta$ появляется от $(c\cdot d)$ в числителе. Ибо когда Вы перемножаете вектор на себя, $(c\cdot c)$ или $(d\cdot d)$, то угол между вектором и им же равен нулю, а косинус этого угла --- единице (1).
Извините, но сложные формулы со стрелочками, которые Вы освоили всего за 10 минут, мне пока не под силу...

[Someone]

vonkurt в сообщении #253965 писал(а):

Не могли бы Вы дать немного теории.Не могу понять почему при перемножении ${\sqrt{(\vec c\,,\vec c\,) \cdot (\vec d\,,\vec d\,)}$ вот $cos\beta$ появляется откуда.Нигде не могу найти исходной формулы из которой эта получена.

Обычно скалярное произведение геометрических векторов определяется формулой

$$(\vec c,\vec d)=|\vec c||\vec d|\cos\beta$$

(иногда с оговоркой для случая, когда один из векторов нулевой). В абстрактных же евклидовых пространствах угол просто определяется Вашей формулой по аналогии с геометрией.

vonkurt в сообщении #253947 писал(а):

$\dfrac1\sqrt 75$

Нужно группировать символы фигурными скобками: \frac 1{\sqrt{75}}.

[gris]

Дело в том, что $|c|$ напрямую не посчитать. Поэтому приходится считать как корень из скалярного квадрата, который очень даже легко вычисляется как квадрат двучлена.
На самом деле, это то, о чём я говорил в самом начале. Свойства скалярного произведения. Их желательно знать хорошо.

[vonkurt]

Почему тогда при известных координатах,к примеру,(2,4,3) и (1,1,1) $|\vec c|$ или $|\vec d|$ не нужен угол при вычислениях?
Простите,что так назойливо,может быть элементарные вещи спрашиваю,но необходимо мне разобраться.Готовые решения в решебнике не устраивают.

[ewert]

так Вы ж интересуетесь только одним вектором, и о каком тогда угле вообще может быть речь?

[vonkurt]

Дано: $ \vec a=2\vec m -\vec n $ и $\vec b =\vec m-3\vec n$ при $|\vec m|=1 , |\vec n|=2 $ , $\vec m $ ^ $\vec n $= $30$градусам.Найти площадь парраллелипипеда.
Решал так:
$a$крестик(векторно)умножил на $b$,$a\times b$ = $ {(2\vec m -\vec n)}\cdot{(\vec m -3\vec n)}=-5\vec m\cdot\vec n$
S посчитал взяв модуль $5 \cdot|{1\cdot2\cdot \sin30|$
Получил 5 ед^2
Правильно?Если правильно,почему не перемножаются вектора матрицей,т.е.беря определитель второго порядка?
Простите,некоторых символов не нашёл как писать))

[AKM]

vonkurt в сообщении #254040 писал(а):

$a$крестик(векторно)умножил на $b $

a \times b : $a \times b$.

[vonkurt]

AKM в сообщении #254044 писал(а):

vonkurt в сообщении #254040 писал(а):

$a$крестик(векторно)умножил на $b $

a \times b : $a \times b$.

Спасибо,сейчас исправлю.

[ewert]

vonkurt в сообщении #254040 писал(а):

Если правильно,почему не перемножаются вектора матрицей,т.е.беря определитель второго порядка?

а откуда Вы возьмёте матрицу?...

[vonkurt]

ewert в сообщении #254072 писал(а):

vonkurt в сообщении #254040 писал(а):

Если правильно,почему не перемножаются вектора матрицей,т.е.беря определитель второго порядка?

а откуда Вы возьмёте матрицу?...

Точно!Спасибо,зарешался!)))
У меня уже просто ступор наступил,надо перерывы иногда делать.Иногда сижу и тупо смотрю на свои решения-А как это я так сделал))))))))

[gris]

vonkurt, я вчера ушёл баиньки пораньше и не успел поумничать насчёт скалярного произведения.

В функциональном анализе скалярное произведение первично. Оно вводится аксиоматически, а через него уже вводится длина вектора и угол между векторами.

В школе и на первом курсе линейной алгебры мы вначале вводим понятие вектора, его длины, угла между векторами, а потом уже скалярного произведения, как произведения длин векторов на косинус угла между ними.
Оказывается, что в ортонормированной системе координат (которые единственные и изучаются в это время) скалярное произведение равно сумме попарных произведений координат.
Если у нас есть координаты векторов, мы можем посчитать всё, что хотим.
Вашу первую задачу можно запросто решить в координатах. Я просто назначу $m=(2;0),\;n=(1;1)$ и скажу, что угол между диагоналями не зависит от поворота. Но это решение вряд ли обрадует преподавателя. Ему надо, чтобы Вы продемонстрирование умение раскрывать скобки в скалярных произведениях.

[vonkurt]

Каким образом Вы увидели координаты?К примеру из $\vec n=\sqrt2$как у Вас получились координаты$n=(1;1)$?
Так понимаю-замечательный способ проверки полученного результата?

[gris]

vonkurt, ежедневное решение задач по линейке отыскать координаты помогло мне. А также вбитое с детства в голову бамбуковой палкой добрым сенсеем знание длины диагонали квадрата и её угла с основанием

[vonkurt]

gris в сообщении #254091 писал(а):

vonkurt, я вчера ушёл баиньки пораньше и не успел поумничать насчёт скалярного произведения.

В функциональном анализе скалярное произведение первично. Оно вводится аксиоматически, а через него уже вводится длина вектора и угол между векторами.

В школе и на первом курсе линейной алгебры мы вначале вводим понятие вектора, его длины, угла между векторами, а потом уже скалярного произведения, как произведения длин векторов на косинус угла между ними.
Оказывается, что в ортонормированной системе координат (которые единственные и изучаются в это время) скалярное произведение равно сумме попарных произведений координат.
Если у нас есть координаты векторов, мы можем посчитать всё, что хотим.
Вашу первую задачу можно запросто решить в координатах. Я просто назначу $m=(2;0),\;n=(1;1)$ и скажу, что угол между диагоналями не зависит от поворота. Но это решение вряд ли обрадует преподавателя. Ему надо, чтобы Вы продемонстрирование умение раскрывать скобки в скалярных произведениях.

Очень ясное объяснение,спасибо.
Сейчас отправлю на печать всю страницу и буду разбираться)).

-- Пт окт 23, 2009 16:58:03 --

Хм.Дали учебник И.И.Баврин "Высшая математика",в нём подробно расписано то,о чём Вы писали,а в моём УМК с гулькин нос(пожимая плечами).

-- Пт окт 23, 2009 17:00:51 --

Не могли бы Вы посоветовать хороший учебник по линейной алгебре.

[vonkurt]

Всем огромное СПАСИБО!Просьба к модерам закрыть тему ,т.к. с векторами,надеюсь,более-менее разобрался.На подходе плоскости и их канонические уравнения)))