Есть ли название для таких полиномов?

[Zursmansor]

Вопрос возник из одной прикладной задачи. В процессе ее решения понадобилось записать тригонометрический базис функций $\sin (n\phi), cos (n\phi$) на единичной окуржности $x^2 + y^2 = 1 $ в полиномиальной форме как фунции от $x$ и $y$ (то есть сделать замену $x = cos \phi$ и $y = sin \phi $).

Если базис обозначить через $S_0 = 1, n>0: S_{2n-1} = cos (n\phi), S_{2n} = sin (n\phi)$ то в силу формул крaтных углов,

$cos (n \phi ) = cos ((n-1) \phi) cos (\phi) - sin ((n-1)\phi) sin (\phi) $
$sin (n \phi) = sin ((n-1) \phi) cos (\phi) + cos ((n-1)\phi) sin (\phi) $

очевидно, получится

$ S_{2n} = x S_{2n-2} + yS_{2n-3}, $
$ S_{2n+1} = xS_{2n-1}- yS_{2n} $

Откуда получаем полиномы $S_n(x,y)$ для базиса:

$ S_0 = 1, $
$ S_1 = x, $
$ S_2 = y, $
$ S_3 = x^2 - y^2, $
$ S_4 = 2xy, $
$ S_5 = x^3 - 3xy^2, $
$ S_6 = 3x^2y - y^3, ... $

Используя тождество $x^2 + y^2 = 1 $ можно исключить $x$ или $y$ и получить полиномы Чебышева первого или второго рода для четных и нечетных $n$ соответственно (быть может с множителем $sin \phi$). То есть отсюда видна связь полиномов $S_n(x,y)$ с полиномами Чебышева.

Собственно, сам вопрос: есть ли какое либо общепринятое название для самих полиномов $S_n(x,y)$?

[maxal]

Zursmansor в сообщении #253795 писал(а):

Если базис обозначить через $S_0 = 1, n>0: S_{2n-1} = cos (n\phi), S_{2n} = sin (n\phi)$ то в силу формул крaтных углов,

Проблема в том, что ваши полиномы определяются неоднозначно (а значит и имени у них быть не может). Например, вы говорите, что $S_3=x^2 - y^2$, но с таким же успехом можно считать, что $S_3 = 1-2y^2$ или $S_3=2x^2-1$ или $S_3 = 3x^2 + y^2 - 2$ и т.д.

[Zursmansor]

Неоднозначно - это, конечно, так. Была надежда, что кто то таки назвал все это семейство полиномов своим (или не своим) именем. Видимо, нет. Спасибо!