помогите разобраться со свойствами пределов

[RFZ]

Помогите разобраться (с доказательством если можно полное)!!! Что значит???
Свойства предела: Независимость от сдвига на конечное число номеров и о конечного числа числа членов последовательности!
И за одно если можно и доказательство этого свойства!
Заранее Спасибо!
С уважением RFZ!!

[ewert]

1. Если $b_n=a_{n+k}$ (где $k$ фиксировано), то предел $b_n$ равен пределу $a_n$.

2. Если $b_n=a_n$ при всех $n>k$ (где $k$ фиксировано), то предел $b_n$ равен пределу $a_n$.

В обоих случаях: надо формально выразить $N(\varepsilon)$ из определения предела для $b_n$ через аналогичное выражение для $a_n$.

[RIP]

Причём равенство пределов надо понимать в том смысле, что если один из пределов существует, то существует и второй, и в этом случае они равны.

[migmit]

И, заметим, второе мгновенно вытекает из первого.

[ewert]

migmit в сообщении #253250 писал(а):

И, заметим, второе мгновенно вытекает из первого.

Не вытекает, но зато верно обратное -- второе утверждение следует формулировать перед первым. Иначе не очень понятно, что в точности означает первое утверждение при отрицательных сдвигах $k$.

[migmit]

Ну как же не вытекает? Берём соответствующие сдвиги $a$ и $b$, они совпадают, значит, и их пределы совпадают. Нет?

[gris]

Там нет сдвига. Если сформулировать более понятно, то второе условие звучит так: изменение конечного числа членов последовательности не влияет на существование и величину её предела.
Раз конечное, то есть максимальный номер изменяемого члена. И приходим к уже сказанному выше.
Правда, если понимать под всем этим этим вычёркивание или добавление членов, то да, можно трактовать как сдвиг. Отсюда мораль - словесные формулировки допускают неоднозначное толкование, поэтому надо или их избегать, или формулировать очень чётко и недвусмысленно.

[ewert]

migmit в сообщении #253575 писал(а):

Берём соответствующие сдвиги, они совпадают, значит, и их пределы совпадают. Нет?

так ведь пафос-то был именно в том, чтобы формально доказать, что при сдвигах предел не меняется. Пусть интуитивно это и очевидно.