Предел последовательности

[Jane Smit]

Помогите пожалуйста решить пример. Я уже третий час решаю мат. анализ, мой мозг скоро взорвётся.

\lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{ \frac{2n^2-5n+3}{n^5+1}}

[Jane Smit]

Нет, я записала условие правильно. А почему такое решение?

[ИСН]

Логарифм и всё. Или пролопиталить потом.

[Jane Smit]

В том то и дело, что мы ещё не проходили правило Лопиталя.

[ИСН]

Э. А какой самый сложный предел с логарифмами Вы знаете?
(Или, допустим, с экспонентами.)

[Jane Smit]

Никакой не знаю. Я мат. анализ изучаю ровно полтора месяца. Причём раз в неделю.
Я вообще-то думала повытаскивать максимальные степени из числителя и знаменателя и пооткидывать бесконечно малые, но что-то у меня ничего не клеится.

[ИС]

А под корнем ведь можно числитель и знаменатель разделить на $n^5$ ?

[Jane Smit]

Можно наверное. Вы мне напишете как?)))

[ИСН]

А толку. Нам нужен в какой-то форме предел типа $\lim\limits_{n\to\infty}{\ln n\over n}$.

[Jane Smit]

Так зачем? Давайте разделим на максимальные степени n^5, а потом поткидываем бесконечно малые последовательности.

[ИС]

Ну вобщем разделил я числитель и знаменатель на $n^5$ и получил во такое вот...
$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt [n]{ \frac{2n^2-5n+3}{n^5+1}} = \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt [n]{ \frac{\frac{2n^2}{n^5}-\frac{5n}{n^5}+\frac{3}{n^5}}{\frac{n^5}{n^5}+\frac{1}{n^5}}} = \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt [n]{ \frac{\frac{2}{n^3}-\frac{5}{n^4}+\frac{3}{n^5}}{1 +\frac{1}{n^5}}} $
вот...

[PAV]

Начнем с простого. Если бы было

$$\lim_{x\to0}x^x$$

- тогда можете решить?

[Jane Smit]

Нет, не могу. Я вообще матанализ не понимаю. Я бы лучше парочку матриц или дискретку бы решила.

[PAV]

Короче, поздно уже. В таких примерах нужно выделять главное (асимптотику) и отбрасывать ненужное. В данном случае Вы должны понимать, что

$$\frac{2n^2-5n+3}{n^5+1}=\frac{2}{n^3}(1+o(1))$$

, затем $1/n$ заменяем на $x$ ну и дальше разбирайтесь.

-- Вт окт 20, 2009 23:45:54 --

Ну а $x^x$ все равно нужен, так что разберитесь сначала с ним. Учебник почитайте, это известный пример.

[Jane Smit]

Завтра почитаю))) Спасибо)