Не VBG

[AD]

Функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ называется VBG-функцией, если есть такой не более чем счетный набор множеств $\{E_n\}_{n=1}^\infty$, что $\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n=[0,1]$, и $f$ имеет ограниченную вариацию на каждом из $E_n$.

Так вот, я тут недавно понял, что не знаю простых примеров функций, которые не были бы VBG. То есть из умной науки понятно, что есть такие, но так сходу не смог придумать.

Не встречались ли Вам достаточно простые не-VBG функции?

[malin]

А если рассмотреть какие-нибудь фрактальные кривые, например, кривую Коха
http://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Коха
или, даже лучше, кривую Пеано
http://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Пеано
Которые, несмотря на то, что строятся за счётное число шагов, на любом отрезке имеют неограниченную варицию. (Насчёт кривой Коха я не уверен, а вот кривая Пеано точно имеет неограниченную вариацию на любом отрезке)

[AD]

Не, ну ясно, что любая нигде не дифференцируемая функция не будет VB ни на каком отрезке, но это не значит, что она не VBG. Скажем, функция Дирихле будет VBG, так как можно разбиться на два множества - на одном тождественный ноль, на другом тождественная единица. А вот насчет пилы Вейерштрасса не уверен.

[malin]

Виноват. Почему-то показалось, что множества $E_n$ должны быть связными.

[AGu]

Функция Вейерштрасса, вроде, подходит.

Лемма.

Если $f\in C([0,1],\mathbb R)$ и \operatorname{var}_{[a,b]}f=\infty$ для любых $0\leqslant a<b\leqslant 1$, то $f\notin\rm{VBG}$.

Доказательство.

Пусть $E_n\subseteq[0,1]$ $(n\in\mathbb N)$ таковы, что $\bigcup_{n\in\mathbb N}E_n=[0,1]$.
По теореме Бэра какое-то $E_n$ не является нигде неплотным.
Покажем, что $\operatorname{var}_{E_n}f=\infty$.
Действительно, пусть $c$ — произвольное число.
Покажем, что $\operatorname{var}_{E_n}f>c$.
Поскольку $E_n$ не является нигде неплотным,

найдутся такие $0\leqslant a<b\leqslant 1$, что $[a,b]\subseteq\operatorname{cl}E_n$.
Поскольку $\operatorname{var}_{[a,b]}f>c+1$, найдутся такие

$a\leqslant x_0<\cdots<x_k\leqslant b$, что $\sum_{i=0}^{k-1}|f(x_i)-f(x_{i+1})|>c+1$.
Благодаря равномерной непрерывности $f$

найдется такое $\delta>0$, что $|f(s)-f(t)|<\frac1{2k}$ при $|s-t|<\delta$.
Поскольку $[a,b]\subseteq\operatorname{cl}E_n$, в $E_n$ найдутся такие

$e_0<\dots<e_k$, что $|e_i-x_i|<\delta$ для всех $i\in\{0,\dots,k\}$.
Тогда для всех $i\in\{0,\dots,k-1\}$ мы имеем

$|f(e_i)-f(e_{i+1})|\geqslant$
$\geqslant|f(x_i)-f(x_{i+1})|-|f(x_i)-f(e_i)|-|f(x_{i+1})-f(e_{i+1})|>$
$>|f(x_i)-f(x_{i+1})|-\frac1k$,

а значит,

$\operatorname{var}_{E_n}f\geqslant\sum_{i=0}^{k-1}|f(e_i)-f(e_{i+1})|>$
$>\sum_{i=0}^{k-1}|f(x_i)-f(x_{i+1})|-k\frac1k>(c+1)-1=c$.

[AD]

AGu, убеждает! Спасибо!!

То есть резюме такое: если функция непрерывна и $\mathrm{VB}(E)$, то она $\mathrm{VB}(\bar E)$ (и даже с той же вариацией). А хотя бы одно из $\bar E_n$ содержит отрезок.

Мне стыдно, что я это проглядел