Еще раз о степенных

[Sasha2]

Вот в Фихтенгольце (том 1) есть такая тема о том, что если задаться двумя положительными числами $a_0, b_0$ строить последовательность $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$ и $b_n=\sqrt{(a_nb_n)}$, то обе последовательности стремятся к одному и тому же пределу (При этом во втором уже томе дается значение этого предела через постоянную Каталана).

Вот так с ходу не могу сообразить, а так будут вести себя любые 2 последовательности степенных, из которых порядок одной меньше другой. То есть если мы например вместо средних геометрических будем рассматривать последовательность средних гармонических, а вместо средних арифметических последовательность средних квадратических.
И еще тоже, а если уже рекрентно, отправляясь от трех и более чисел строить также рекурентно уже несколько последовательностей степенных, то они тоже сойдутся к одному и тому же числу?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #252855 писал(а):

Вот так с ходу не могу сообразить, а так будут вести себя любые 2 последовательности степенных, из которых порядок одной меньше другой.

Сойдутся. Дело в том, что для любой наперёд заданной начальной пары точек результат любого "усреднения" двусторонне оценивается через среднее арифметическое. Поэтому расстояние между усреднениями не может стремиться не к нулю.

[Sasha2]

Спасибо, но также следует понимать, что такого простого выражения, найденного Гауссом для общего предела средних арифметических и геометрических в общем случае уже получить не удасться?

[venco]

Если брать среднее арифметическое и среднее гармоническое, то предел будет средним геометрическим.

Да и вообще для любых противоположных степеней предел - среднее геометрическое.