Задача на вращение твердых тел

[Nikita_b]

Здравствуйте, прощу помочь с решением задачи:
Два тела соодинены невесомой нитью. Масса первого тела, $m_1 = 0.3$ кг, а второго $m_2 = 0.5$ кг. Нить перекинута через блок в виде тонкостенного цилиндра массой $m_3$. Первое тело скользит по горизонтальной поверхности стола, коэффициент трения $K = 0.3$. Определить силу натяжения нитей слева и справа от блока, а также ускорение этих тел.

Мой ход решения:
Определим есть ли вообще ускорение. На второе тело(Которое висит на нити), действует сила тяжести равная в нашем случае $m_2*g = 50 H$. На второе тело действует сила тяжести и сила трения. Сила трения $F = 0.3 * m_1 * g = 9 H$ и сила тяжести. Но в данном случае, как я понимаю, она не влияет на движение системы, т.к направлена перпендикулярно ему(Поправьте если я не прав). Но даже если и влияет то ускорение направлено в любом случае в сторону второго тела.

По второму закону Ньютона составим уравнения движения для трех тел:
$ \left\{ \begin{array}{l} - m_1g*u + T_1 = m_1a \\ m_2g - T_2 = m_2a \\ T_1 - T_2 = IB \end{array} \right. $
И собственно все, что я осилил....Дальше возникла проблема с тем, что мы не знаем не радиуса цилиндра, не угловой скорости. И у нас получаются остаются неизвестными 4 переменных. Возможно я чего то упускаю при составлении уравнений движения.....

По возможности не говорите готовое решение, а просто подскажите, т.к задачка очень простая и надо пытаться дойти самому...
Есть подозрения, что ускорение можно, как то выразить через угловое ускорение, т.е $a = B* R$, но это плохая идея т.к радиуса у нас нет и мы меняем одну неизвестную на другую...С другой стороны если $I = m_3R$, то все получается вроде как! Теперь ставлю вопрос по другому, моё решение верное? А то я почему то подозреваю, то ур-ния движения я составил неверно.
Заранее большое спасибо за помощь!

[whiterussian]

Во-первых, проверьте знаки перед $T$ в третьем уравнении, а то у вас цилиндр вращается в обратном направлении...

Во-вторых, запишите $I$ цилиндра через радиус и массу... к радости окружающих все радиусы сократятся...

О, момент инерции имеет размерность $ \left[ \text{масса} \right][ \text{длина}]^2$

[Nikita_b]

whiterussian в сообщении #252317 писал(а):

Во-первых, проверьте знаки перед $T$ в третьем уравнении, а то у вас цилиндр вращается в обратном направлении...

Т.е уравнение примет вид:
$T_2 - T_1 = IB$
?
Да, точно. Спасибо.

whiterussian в сообщении #252317 писал(а):

Во-вторых, запишите $I$ цилиндра через радиус и массу... к радости окружающих все радиусы сократятся...

Ну радиусы не могут сократится, т.к если выражать его через $I$, то один из них будет в квадрате. Сократится тут может угловая скорость, но проблема в том, что даже она не сокращается.
К примеру возьмем те три уравнения движения:
$ \left\{ \begin{array}{l} - m_1g*u + T_1 = m_1a \\ m_2g - T_2 = m_2a \\ T_2 - T_1 = IB \end{array} \right. $
Для простаты выразим в первом и втором уравнении $T_1 и T_2$ и подставим в третье. Получится:
$m_2gu-m_1BR-m_2g-m_2BR=m_3BR^2$
А в данной уравнении $B$ не сократится.

whiterussian в сообщении #252317 писал(а):

О, момент инерции имеет размерность $ \left[ \text{масса} \right][ \text{длина}]^2$

Опечатался. $I = m_3R^2$

Рано я обрадовался....

[ewert]

Nikita_b в сообщении #252684 писал(а):

Для простаты выразим в первом и втором уравнении

Для простаты ничего вообще выражать не нужно, для неё просто нужно достаточно долго жить. А в третьем уравнении Вы просто забыли домножить $T_2-T_1$ на $R$ -- там ведь речь не о самих силах, а об их моментах.

Ну и уж кстати: полкило на "жэ" -- это вовсе не 50 ньютонов...

[Nikita_b]

ewert в сообщении #252691 писал(а):

Для простаты ничего вообще выражать не нужно, для неё просто нужно достаточно долго жить.

ewert в сообщении #252691 писал(а):

А в третьем уравнении Вы просто забыли домножить $T_2-T_1$ на $R$ -- там ведь речь не о самих силах, а об их моментах.

Проблема в том, что перед тем, как сюда написать я уже пытался решать эту задачу, и в изначальной версии, у меня уравнения составлены правильно(Ну почти...).
Но все ровно не сокращается там радиус. Вернее он сокращается, но из за этого только убирается квадрат. В формуле он остается.
Формула становится вида:
$5.9 = 0.9BR$
Я возможно математический лох, но не настолько же? Уже раз 8 пересчитал.

У меня есть собственно еще одна идея для решения. Попробовать найти через приращения энергии, т.е
$T = \frac {(m_1+m_2)v^2} {2} + \frac {IW^2} {2}$
$U = - mgh $
$I = m_3R^2$
Но это собственно опять ничего не дает....3 неизвестных.Ну допустим $W$ можно представить, как $W^2 = \frac {V^2} {R^2}$
Радиус сократится....
Останется одна неизвестная, ну и неизвестно приращение энергии....

ewert в сообщении #252691 писал(а):

Ну и уж кстати: полкило на "жэ" -- это вовсе не 50 ньютонов...

Ну на самом деле сила трения там тоже не правильно посчитана %(
В ПТУ мне какое нибудь надо, с такой склонностью к точным вычислениям, а не по университетам шастать %(

[whiterussian]

Выразите $B$ через линейное ускорение... У вас ведь ниточка, касающаяся цилиндра, имеет то же самое ускорение...

И будет вам счастье!

[ewert]

Что-то у Вас $\omega$ постоянно разными буквами обозначается -- то $B$, то $W$. Выбрали бы что-нибудь одно -- ну хоть \it Ь.

Дело в том, $\omega R$ -- это в точности $a$.

И, кстати, чего-то я не вижу в Ваших уравнениях силы трения...

[whiterussian]

ewert,
у него $u$ это коэфициент трения ...

[ewert]

а-а, зрение никуда не годно стало...

[Nikita_b]

whiterussian в сообщении #252846 писал(а):

Выразите $B$ через линейное ускорение... У вас ведь ниточка, касающаяся цилиндра, имеет то же самое ускорение...

И будет вам счастье!

Вы имеете в виду выразить в способе номер 2, или номер 1? В способе номер 2, я и выразил. Из за этого радиусы сократились.

А в способе один, что это даст? У нас будет три неизвестных, я с двумя то справится не могу!

Цитата:

Что-то у Вас постоянно разными буквами обозначается -- то , то . Выбрали бы что-нибудь одно -- ну хоть .

$B$ - Угловое ускорение.
$W$ - Угловая скорость.
В уравнении кинетической энергии, я просто неправильно написал. Прощу прощения.
А нет...все правильно у меня. Щас конечно еще раз все проверю...

-- Вс окт 18, 2009 23:27:31 --

Все понял)
$BR = a$
Фуф)
Не сходится с ответом %(
Жизнь отстой.

[whiterussian]

Давайте так...
Запишите систему уравнений без ошибок и дайте мне на них посмотреть... Договорились? Потому,что моя система решилась без проблем.

Советую использовать $\alpha$ для углового ускорения и $\mu$ для коэфициента трения...

-- Вс окт 18, 2009 14:42:40 --

ОК.... мой ответ для ускорения:

$$ a=g\frac{m_2-\mu m_1}{m_1+m_2+m_3} $$

[Nikita_b]

Блин, сам же зачем то выразил ускорение через $I\alpha$ и сам же в конце не смог узнать формулу....

whiterussian в сообщении #252859 писал(а):

Давайте так...
Запишите систему уравнений без ошибок и дайте мне на них посмотреть... Договорились? Потому,что моя система решилась без проблем.

Советую использовать $\alpha$ для углового ускорения и $\mu$ для коэфициента трения...

$ \left\{ \begin{array}{l} - m_1g\mu + T_1 = m_1a \\ m_2g - T_2 = m_2a \\ T_2 - T_1 = I\alpha \end{array} \right. $
Вот..

Так....У меня, что то глобально не правильно, судя по всему....

[whiterussian]

У вас маленькая ошибочка в третьем уравнении...
$I\alpha$ равно моменту сил, а значит $T_2 r-T_1 r = I\alpha$

-- Вс окт 18, 2009 14:56:29 --

ewert вам на это уже указывал....

[Nikita_b]

whiterussian в сообщении #252867 писал(а):

У вас маленькая ошибочка в третьем уравнении...
$I\alpha$ равно моменту сил, а значит $T_2 r-T_1 r = I\alpha$

-- Вс окт 18, 2009 14:56:29 --

ewert вам на это уже указывал....

Нет нет, это я снова сюда не правильно написал. На бумаге все было правильно....Сегодня какой то не мой день %(
Там естественно:
$ \left\{ \begin{array}{l} - m_1g*\mu + T_1 = m_1a \\ m_2g - T_2 = m_2a \\ (T_2 - T_1)R = I \alpha \end{array} \right. $

Если не секрет, как Вы получили такое красивое уравнение? Сейчас попробую, по Вашей формуле посчитать....

По Вашей правильно. Вероятно я ошибался, при подстановке двух первых уравнений в третье. Сейчас буду думать в чем ошибался.

Огромное спасибо за помощь!

[whiterussian]

Дело в том, что в большинстве задач ответы красивые...

-- Вс окт 18, 2009 15:05:52 --

Так, вы только что написали третье уравнение с НОВОЙ ошибкой... Посмотрите на мой пост от" Вс окт 18, 2009 14:55:07"