Независимость случайных величин

[Gonobobel]

Кросспост из форума ГЗ МГУ, раздел Study. По-видимому, там он не вызвал большого интереса, может, здесь завяжется дискуссия.

Краткая вводная:

Если с каждым из множеств 1 и 2 ассоциированы некоторые семейства их подмножеств А1 и А2 (алгебра множеств, топология и т.п.), то говорим, что отображение из 1 в 2 измеримо в смысле этих систем, если образ А2 по отображению взятия прообраза по нашему отображению лежит в А1. В случае алгебр это означает измеримость, в случае топологий - непрерывность и т.п.

В нашем частном случае у нас имеется множество Х, сигма-алгебра множеств А на нём, и R, рассматриваемое с борелевской сигма-алгеброй.

Далее, на А вводится вещественная функция - вероятность (нормированная мера). И в терминах этой функции формулируется определение независимости измеримых отображений.

О терминах. Кому больше нарвится, пусть говорит "случайная величина" вместо "измеримое отображение". Это дело вкуса, я пишу "измеримое отображение", чтобы подчеркнуть категорную разницу понятий: например, если мы меняем вероятность, а отображение оставляем такое же, то мера на R, порождаемая этим отображением (распределение случайной величины) изменится. Изменилась ли случайная величина? Да. Изменилось ли измеримое отображение? Нет.

Так вот что меня конкретно интересует:

1. Пусть есть пара измеримых отображений. Каков класс вероятностей, относительно которых случайные величины, порождаемые этими отображениями, будут независимыми? Какие свойства алгебр множеств и самих отображений влияют на то, каким будет этот класс?

2. Пусть измеримые отображения независимы относительно тех и только тех вероятностий, которые принадлежат некоторому классу К. Что мы можем в этом случае сказать об этих измеримых отображениях? Какие свойства класса К надо для этого знать?

Ответом на оба вопроса явилось бы определение независимости, вообще не знависящее от вероятности и эквивалентное классическому. Однако такого определения, по-видимому, мы не найдём.

Что же мы можем сказать в ответ на 1 и 2?

[Горьковчанин]

1. Сначала неплохо бы ограничить множество "пар измеримых отображений". Пусть, к примеру, случайная величина $\xi\neq\mathrm{const}$ и $\eta=-\xi$ с вероятностью 1. Тогда они зависимы относительно этой вероятности. Отсюда рецепт: для любой пары случайных величин $\xi$,$\eta$ выбираем вероятностную меру, сосредоточенную на одном элементарном исходе и получаем почти наверное константы, которые автоматически независимы. Чтобы все было корректно окончательно, кажется нужно потребовать не просто измеримость каждой из случайных величин, но и измеримость системы $(\xi,\eta)$.

2. О терминологии. Случайной величиной называют именно измеримое отображение. Распределение сл.величины -- это другое дело. Не надо смешивать.

Определение независимости, не привязанное к вероятности, бессмысленно в теории вероятностей -- именно потому, что рассматривается не "независимость вообще", или "независимость функциональная, физическая", а именно "статистическая назваисимость", близость условной и безусловной частот ( именно близость, а не равенство).

[Gonobobel]

Горьковчанин пишет:

Цитата:

1. Сначала неплохо бы ограничить множество "пар измеримых отображений".

Да, именно поэтому я и писал:

Цитата:

Какие свойства алгебр множеств и самих отображений влияют на то, каким будет этот класс?

Спасибо за пример, но ведь один пример - это не решение вопроса в общей постановке. Конечно, чем более общА постановка, тем более бессмысленно обсуждение. Но, может, кто-то уже ставил до меня вопрос, аналогичный моему?

Цитата:

Случайной величиной называют именно измеримое отображение. Распределение сл.величины -- это другое дело.

Случайной величиной, определённой на вероятностном пространстве (т.е. измеримом пространстве с вероятностной мерой) - да. Но здесь я рассматриваю случайные величины на разных вероятностных пространствах, ведь я хочу менять меру, сохраняя при этом само отображение и сигма-алгебры. Поэтому я и называю случайной величиной пару мера-отображение, дабы избежать путаницы.

Я согласен, что я трактую понятие случайной величины не вполне классически.

Цитата:

Определение независимости, не привязанное к вероятности, бессмысленно в теории вероятностей -- именно потому, что рассматривается не "независимость вообще", или "независимость функциональная, физическая", а именно "статистическая назваисимость", близость условной и безусловной частот ( именно близость, а не равенство).

Да-да, я согласен. Интересным (для меня, пока ещё), помимо вопросов 1 и 2, представляется такой вопрос: каков класс тех вероятностей, которые "видят" измеримые отображения как одинаковые случайные величины (одинаково распределённые на R, если угодно. Конкретное понимание слов "видят одинаково" можно уточнить, когда станет ясно, какое уточнение более осмысленно).