2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Не VBG
Сообщение17.10.2009, 17:10 
Функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ называется VBG-функцией, если есть такой не более чем счетный набор множеств $\{E_n\}_{n=1}^\infty$, что $\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n=[0,1]$, и $f$ имеет ограниченную вариацию на каждом из $E_n$.

Так вот, я тут недавно понял, что не знаю простых примеров функций, которые не были бы VBG. :oops: То есть из умной науки понятно, что есть такие, но так сходу не смог придумать.

Не встречались ли Вам достаточно простые не-VBG функции?

 
 
 
 Re: Не VBG
Сообщение17.10.2009, 17:34 
А если рассмотреть какие-нибудь фрактальные кривые, например, кривую Коха
http://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Коха
или, даже лучше, кривую Пеано
http://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Пеано
Которые, несмотря на то, что строятся за счётное число шагов, на любом отрезке имеют неограниченную варицию. (Насчёт кривой Коха я не уверен, а вот кривая Пеано точно имеет неограниченную вариацию на любом отрезке)

 
 
 
 Re: Не VBG
Сообщение17.10.2009, 17:49 
Не, ну ясно, что любая нигде не дифференцируемая функция не будет VB ни на каком отрезке, но это не значит, что она не VBG. Скажем, функция Дирихле будет VBG, так как можно разбиться на два множества - на одном тождественный ноль, на другом тождественная единица. :roll: А вот насчет пилы Вейерштрасса не уверен.

 
 
 
 Re: Не VBG
Сообщение17.10.2009, 18:45 
Виноват. Почему-то показалось, что множества $E_n$ должны быть связными.

 
 
 
 Re: Не VBG
Сообщение20.10.2009, 12:20 
Функция Вейерштрасса, вроде, подходит.

Лемма.
    Если $f\in C([0,1],\mathbb R)$ и \operatorname{var}_{[a,b]}f=\infty$ для любых $0\leqslant a<b\leqslant 1$, то $f\notin\rm{VBG}$.

Доказательство.
    Пусть $E_n\subseteq[0,1]$ $(n\in\mathbb N)$ таковы, что $\bigcup_{n\in\mathbb N}E_n=[0,1]$.
    По теореме Бэра какое-то $E_n$ не является нигде неплотным.
    Покажем, что $\operatorname{var}_{E_n}f=\infty$.
    Действительно, пусть $c$ — произвольное число.
    Покажем, что $\operatorname{var}_{E_n}f>c$.
    Поскольку $E_n$ не является нигде неплотным,
      найдутся такие $0\leqslant a<b\leqslant 1$, что $[a,b]\subseteq\operatorname{cl}E_n$.
    Поскольку $\operatorname{var}_{[a,b]}f>c+1$, найдутся такие
      $a\leqslant x_0<\cdots<x_k\leqslant b$, что $\sum_{i=0}^{k-1}|f(x_i)-f(x_{i+1})|>c+1$.
    Благодаря равномерной непрерывности $f$
      найдется такое $\delta>0$, что $|f(s)-f(t)|<\frac1{2k}$ при $|s-t|<\delta$.
    Поскольку $[a,b]\subseteq\operatorname{cl}E_n$, в $E_n$ найдутся такие
      $e_0<\dots<e_k$, что $|e_i-x_i|<\delta$ для всех $i\in\{0,\dots,k\}$.
    Тогда для всех $i\in\{0,\dots,k-1\}$ мы имеем
      $|f(e_i)-f(e_{i+1})|\geqslant$
      $\geqslant|f(x_i)-f(x_{i+1})|-|f(x_i)-f(e_i)|-|f(x_{i+1})-f(e_{i+1})|>$
      $>|f(x_i)-f(x_{i+1})|-\frac1k$,
    а значит,
      $\operatorname{var}_{E_n}f\geqslant\sum_{i=0}^{k-1}|f(e_i)-f(e_{i+1})|>$
      $>\sum_{i=0}^{k-1}|f(x_i)-f(x_{i+1})|-k\frac1k>(c+1)-1=c$.

 
 
 
 Re: Не VBG
Сообщение20.10.2009, 15:39 
AGu, убеждает! Спасибо!!

То есть резюме такое: если функция непрерывна и $\mathrm{VB}(E)$, то она $\mathrm{VB}(\bar E)$ (и даже с той же вариацией). А хотя бы одно из $\bar E_n$ содержит отрезок.

Мне стыдно, что я это проглядел :oops:

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group