изоморфизм мультипликативной и аддитивной групп поля

[malin]

Задача такая: показать, что если $P$ - поле, то не существует изоморфизма $f$ из аддитивной группы $f$ в мультипликативную.

Ну тут вот, для конечных полей очевидно, ибо множества неравномощны. Воот, и т.к. $f$ изоморфизм, то $Kerf = {0}$.
Очевидно, что $f(0) = e$. И всио. дальше что-то непонятно, что делать. Может быть, нужно искать противоречие с тем, что $Kerf = {0}$

[RIP]

Подсказка: каково множество решений уравнения $x+x=0$ в поле?

[VAL]

malin в сообщении #252309 писал(а):

Задача такая: показать, что если $P$ - поле, то не существует изоморфизма $f$ из аддитивной группы $f$ в мультипликативную.

Ну тут вот, для конечных полей очевидно, ибо множества неравномощны. Воот, и т.к. $f$ изоморфизм, то $Kerf = {0}$.
Очевидно, что $f(0) = e$. И всио. дальше что-то непонятно, что делать. Может быть, нужно искать противоречие с тем, что $Kerf = {0}$

В бесконечном поле нулевой характеристики есть -1. Этот элемент имеет порядок 2 в мультипликативной группе поля. А в аддитивной группе все элементы кроме 0 имеют бесконечный порядок.
Если же поле имеет ненулевую характеристику p, то в аддитивной группе каждый ненулевой элемент имеет порядок p, а мультипликативной группе таких элементов нет.

[malin]

Цитата:

Подсказка: каково множество решений уравнения $x + x = 0$ в поле?

Если поле характеристики $0$, то ${0}$, но что-то всё равно тяжеловато.

Цитата:

В бесконечном поле нулевой характеристики есть -1. Этот элемент имеет порядок 2 в мультипликативной группе поля. А в аддитивной группе все элементы кроме 0 имеют бесконечный порядок.
Если же поле имеет ненулевую характеристику p, то в аддитивной группе каждый ненулевой элемент имеет порядок p, а мультипликативной группе таких элементов нет.

Спасибо за помощь. Теперь, учитывая тот факт, что при изоморфизме порядки сохраняются, приходим к противоречию. Всё ясно.

Но всё-таки, при чём здесь $x + x = 0$?

[RIP]

malin в сообщении #252332 писал(а):

Но всё-таки, при чём здесь $x + x = 0$?

При изоморфизме это уравнение переходит в $x^2=1$. Каково бы ни было поле, не существует биекции между множествами решений этих уравнений.

[VAL]

malin в сообщении #252332 писал(а):

Цитата:

В бесконечном поле нулевой характеристики есть -1. Этот элемент имеет порядок 2 в мультипликативной группе поля.

Но всё-таки, при чём здесь $x + x = 0$?

Сравните с процитированным.

[malin]

Понятно. Спасибо большое. Я просто никогда не думал над тем, что становится с уравнениями при изоморфизме, вот сразу и не понял. А задача совсем простой оказалась.

[Mathusic]

deleted

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #252335 писал(а):

malin в сообщении #252332 писал(а):

Но всё-таки, при чём здесь $x + x = 0$?

При изоморфизме это уравнение переходит в $x^2=1$. Каково бы ни было поле, не существует биекции между множествами решений этих уравнений.

А если поле характеристики $2$?

-- Сб окт 17, 2009 12:13:23 --

А, ну да, всё равно не существует. Многочлен $x^2-1$ не нулевой над любым полем любой характеристики