Спектр дифференциального Оператора

[AlexNew]

Предположим у нас есть некий дифференциальный оператор, нам нужно найти хотя бы «нижнюю часть» его спектр,
есть 2 пути:
1) решаем наше дифференциальное уравнение, находим собственные значения.
2)
-выбираем некую систему ортогональных функций,
-находим матричное представление нашего оператора в выбранном базисе.
-приравниваем детерминант нулю, находим характеристический полином и собственные значения.

Собственно вопрос:
Как выбрать наиболее подходящие базисные функции для данного оператора, чтобы используя минимальное их число, можно было получить белее менее точно хотя бы нижние собственные значения?
(ясно что количество собственных значений будет равно числу функций в базисе, и только некоторые найденные собственные значения будут точными, интересует методика решения подобных задач)

Еще есть один вопрос:
как записать красивый дифференциальный оператор для данного спектра?
(ясно что операторы могут быть разными для одного и того же спектра, интересует именно «простой-красивый»)

P.S.
Знаю что вопросы сформулированы плохо, то думаю суть должна быть понятна…

[ewert]

AlexNew в сообщении #251791 писал(а):

, и только некоторые найденные собственные значения будут точными,

Никакие собственные значения не будут точными.

А вообще Вы правы, вопрос сугубо лирический. Тем более что не сказано, что за оператор. Наилучшими -- будут наилучшие функции, и более ничего порекомендовать невозможно.

[shwedka]

AlexNew в сообщении #251791 писал(а):

Еще есть один вопрос:
как записать красивый дифференциальный оператор для данного спектра?
(ясно что операторы могут быть разными для одного и того же спектра, интересует именно «простой-красивый»)

Тут много науки.Давайте для начала ограничимся обыкновенными дифференциальными операторами второго порядка на конечном интервале, то есть регулярными задачами Штурма-Лиувилля. $Au=-(pu')'+qu$
Во-первых, не всякая последовательность чисел $\lambda_n$ может быть последовательностью собственных чисел какого-то оператора. есть необходимые условия, первое из них- правильная асимптотика, $\lambda_n\sim Cn^2$. В зависимости от требования гладкости коэффициентов (Ваша 'красивость') появляются новые условия.

Если эти условия выполнены, то коэффициенты определяются по ним НЕОДНОЗНАЧНО. Согласно теореме Берга, коэффициенты определяются однозначно по ДВУМ спектрам, то есть по двум последовательностям собственных значений, отвечающим двум наборам граничных условий.

Советую почитать по этому поводу книжку Левитана, 'Обратные задачи Штурма-Лиувилля' Наука, 1984. Существует в электронной форме. Как искать-- посмотрите в соответствующем разделе Форума.

[V.V.]

shwedka, а правильно я понимаю, что все теоремы типа Борга неконструктивны?

[jetyb]

Посмотрите книгу Наймарка "Линейные дифференциальные операторы".

[AlexNew]

Shwedka, и jetyb Спасибо за ответ!

Наймарк "Линейные дифференциальные операторы" - книга толковая, Спасибо!

А вот “Обратные задачи Штурма-Лиувилля” Левитана, ищут многие, книга в списке разыскиваемых на нашем форуме: http://lib.mexmat.ru/booking.php?mode=title
похоже по обратным задачам вообще мало литературы...

Вопросы в самом деле у меня отчасти риторические, Ссылки на любые толковые книги по теории операторов будут мне весьма полезны.

[shwedka]

AlexNew в сообщении #252078 писал(а):

А вот “Обратные задачи Штурма-Лиувилля” Левитана, ищут многие, книга в списке разыскиваемых на нашем форуме:

И делов-то...
Забирайте, и другим дайте.

http://ifile.it/9w0rop3

[V.V.]

Еще есть книга

В.А. Юрко "Введение в теорию обратных спектральных задач". М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

[shwedka]

V.V. в сообщении #252106 писал(а):

Еще есть книга

В.А. Юрко "Введение в теорию обратных спектральных задач". М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

Такая книжечка у нас тоже есть

[ewert]

shwedka в сообщении #252085 писал(а):

Забирайте, и другим дайте.

Всё это прекрасно, но там нет ссылки. Соотв., -- и не скачать.

[Maslov]

ewert в сообщении #252273 писал(а):

Всё это прекрасно, но там нет ссылки.

Как это нет? Там просто регистрация нужна.

[ewert]

Maslov в сообщении #252282 писал(а):

Там просто регистрация нужна.

Так а кому и нужна такая ссылка (извините, не могу послать по правильному адресу).

[shwedka]

ewert
Никакой регистрации не нужно.
все там есть. Кликните на 'Request download ticket ' слева сверху и получите ссылку.
Еще книжку Юрко забирайте с
http://ifile.it/lacmb28
У меня мнооооооооооооооооооооооооого чего есть.

[Maslov]

shwedka в сообщении #252289 писал(а):

Никакой регистрации не нужно.

Эх, зря регистрился

[ewert]

shwedka в сообщении #252289 писал(а):

Кликните на 'Request download ticket ' слева сверху и получите ссылку.

Дык я кликал. Ноль-эффект.