Сходимость функционального ряда

[Ryabsky]

Исследовать на сходимость (абсолютную, условную, равномерную) ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n+x}$$

на множестве $0 \leqslant x <+\infty$
--------
Для конечного $x$ (т.е. $0 \leqslant x \leqslant c, c>0$) ряд сходится условно, т.к. сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n}$ (доказал), а именно:
$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n+x} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n} \frac{1}{1+\frac{x}{n}}\right)$ - сходится по Абелю.
Кроме того, этот ряд сходится равномерно по тому же Абелю (повторюсь, для конечного $x$).

Подскажите пожалуйста, что изменится, если рассматривать исходное множество? Изменится ли сходимость ряда, и если изменится, то как это доказать?

[Хорхе]

Ryabsky в сообщении #251309 писал(а):

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n+x} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n} \frac{1}{1+\frac{x}{n}}\right)$ - сходится по Абелю.
Кроме того, этот ряд сходится равномерно по тому же Абелю (повторюсь, для конечного $x$).

Подскажите пожалуйста, что изменится, если рассматривать исходное множество? Изменится ли сходимость ряда, и если изменится, то как это доказать?

А в чем проблемы с полупрямой? Один ряд равномерно сходится (вообще от $x$ не зависит), вторая последовательность равномерно ограничена и монотонна.

[Ryabsky]

блин, точно))) мне почему то стрельнуло в голову что для неограниченных $x$ все будет не так...))
спасибо большое