Задача по теме "Метрические пространства".

[feag]

Здравствуйте!Помогите, пожалуйста, нужно доказать, что расстояние, определённое следующим образом:
$\[ p(x,y) = \max _{a \leqslant t \leqslant b} |x(t) - y(t)| \]$
соответствует аксиомам метрики:
$\[ \begin{gathered} 1.p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y \hfill \\ 2.p(x,y) = p(y,x) \hfill \\ 3.p(x,z) \leqslant p(x,y) + p(y,z) \hfill \\ \end{gathered} \]$

[gris]

$x(t), y(t)$ определены, естественно, на $[a;b]$?
Ну так непосредственно и проверьте.
Например, пусть $x(t) = y(t)$. Тогда...

[feag]

С первыми двумя то понятно, у меня возникли проблемы с третьей аксиомой.

[gris]

Максимум может достигаться при разных $t$.

[TOTAL]

feag в сообщении #251252 писал(а):

С первыми двумя то понятно, у меня возникли проблемы с третьей аксиомой.

$|a+b| \le |a| + |b|$ такое сможете доказать для чисел $a, b$?

[PAV]

Сначала запишите неравенство без максимумов, для произвольного $t$. Затем возьмите максимум по всем $t$ в одной части, а после этого, когда она уже от $t$ не будет зависеть - в другой части.

[ewert]

gris в сообщении #251256 писал(а):

Максимум может достигаться при разных $t$.

gris имеет в виду, что максимум суммы всегда не превосходит суммы максимумов (что вроде как вполне очевидно). А кроме этого нужно только неравенство треугольника для модулей самих по себе, что тоже известно.

[feag]

Да, спасибо всем! Я примерно также и решил.Просто я в тот день прочитал книгу Бурбаки.И у меня почва из под ног вышла по части доказательств.