2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 20:52 
Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?
Можно ли вообще определить корректно такое сложение?

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 20:59 
Аватара пользователя
$1+2+3+...+...=-\dfrac{1}{12}$. Доказал Эйлер.
$1^2+2^2+3^2+...+...=0$.

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:06 
Аватара пользователя
age в сообщении #250494 писал(а):
$1+2+3+...+...=-\dfrac{1}{12}$. Доказал Эйлер.
$1^2+2^2+3^2+...+...=0$.

Так множества должны быть несчётными.
Как понимать эти суммы???

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:13 
Пусть $A$ - наше несчетное множество чисел. Без ограничения общности считаем, что эти числа не превосходят единицу. $A=\bigcup\limits_{N}A_n$, где $A_ n=\{x\in A: \frac{1}{n}\leq x<\frac{1}{n+1}\}. $Поскольку $A$ несчетно, то найдется $A_i $, в котором содержится бесконечное число элементов, значит сумма элементов множества $A_i$ бесконечна.

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:17 
Аватара пользователя
age в сообщении #250494 писал(а):
$1+2+3+...+...=-\dfrac{1}{12}$. Доказал Эйлер.
$1^2+2^2+3^2+...+...=0$.

Это два расходящихся ряда. Откуда Вы взяли эти результаты?

Sasha2 в сообщении #250490 писал(а):
Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?
Можно ли вообще определить корректно такое сложение?

Думаю, что корректно и разумно такое сложение определить нельзя.

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:18 
Sasha2 в сообщении #250490 писал(а):
Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?Можно ли вообще определить корректно такое сложение?
Я лично не слышал о таких штуках. Вы можете попытаться точно сформулировать, какими свойствами должна обладать такая сумма, и тогда можно будет давать ответы на Ваши вопросы.

Ну, например, вот конкретная формулировка: мы будем пытаться определять сумму любого множества неотрицательных слагаемых так, чтобы
1. если из них лишь счетное число отлично от нуля, то получалась бы обычная сумма ряда, и
2. сумма всех слагаемых не меньше суммы некоторых слагаемых (то есть подмножества).
Требования вроде бы естественны, но даже из них уже понятно, что сумма несчетного числа положительных слагаемых всегда будет $+\infty$. upd: Что только что и продемонстрировал jetyb.

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:20 
Аватара пользователя
Можно и так Вас понять :) :
множество $\{1;2\}\bigcup (-2;-1)$ несчётно. "Сумма всех положительных чисел, являющихся элементами этого несчетного множества," равна $3$

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:35 
Аватара пользователя
(да, да, я понял, что слева имелись в виду квадратные скобочки)
Это Вы как определили? Через сокращение подобных по биекции? Так-то его можно свести к чему угодно от $-\infty$ до $+\infty$

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:39 
Аватара пользователя
нет, это фигурные скобочки. обозначают множество из двух чисел

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:43 
Ну хорошо, нельзя.
Тогда можно ли определить, например частное суммы всех чисел в промежутке от 1 до 2 и в промежутке от 2 до 3.
Если исходить из док-ва jetby, получается что частное всех [1, 2] / [2, 3] и [2, 3]/[1, 2] обе равны бесконечности.

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение09.10.2009, 21:49 
Аватара пользователя
Sasha2: такое, наверное, можно попытаться как-то гладко определить.
gris в сообщении #250514 писал(а):
нет, это фигурные скобочки. обозначают множество из двух чисел

Тьфу, извините, не догнал сразу. Положительных, ага. Один чёрт.

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение10.10.2009, 00:53 
Виктор Викторов в сообщении #250502 писал(а):
age в сообщении #250494 писал(а):
$1+2+3+...+...=-\dfrac{1}{12}$. Доказал Эйлер.
$1^2+2^2+3^2+...+...=0$.

Это два расходящихся ряда. Откуда Вы взяли эти результаты?
Р.Пенроуз в книге The Road to Reality (4.3) ссылается на Эйлера и утверждает, что тот иногда записывал суммы расходящихся рядов в виде:
$1 + 2^2 + 2^4 + 2^8 + ... = (1 - 2^2)^{-1} = -\frac{1} {3}$
(формально подставляя показатель $2^2$ в формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии с показателем < 1)
Далее Пенроуз пишет, что в физике, например, в квантовой теории поля, из подобных манипуляций с расходящимися рядами можно иногда получить достаточно аккуратные решения.

ЗЫ. Не пинайте - за что купил, за то и продаю.

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение10.10.2009, 01:15 
Аватара пользователя
Уважаемый Максим Маслов!

Сумма ряда определяется как предел последовательности частичных сумм. Необходимым условием стремления оной последовательности к конечному пределу является стремление общего члена ряда к нулю. Именно по этому вышеуказанные ряды расходятся. К сожалению, я не изучал квантовую теорию поля, но советую Вам подставить $2^2$ в формулу для частичных сумм и попытаться рассмотреть предел. Уверяю Вас, что после этого Вы поймёте за что Вы этот бред купили.

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение10.10.2009, 01:33 
Аватара пользователя
Ну, справедливости ради, есть теория обобщенного суммирования расходящихся рядов. Правда, если ряд расходится к $+\infty$, то любая обобщенная сумма тоже должна расходиться к $+\infty$

 
 
 
 Re: Сумма странного множества
Сообщение10.10.2009, 01:36 
Уважаемый Виктор Викторов
Я никоим образом не утверждаю, что сумма указанного расходящегося ряда действительно равна -1/3. Единственная цель моего поста - указать источник (причем, на мой взгляд, достаточно авторитетный), в котором Эйлеру приписывается подобное обращение с расходящимися рядами.

 
 
 [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group