Сумма странного множества

[Sasha2]

Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?
Можно ли вообще определить корректно такое сложение?

[age]

$1+2+3+...+...=-\dfrac{1}{12}$. Доказал Эйлер.
$1^2+2^2+3^2+...+...=0$.

[Mathusic]

age в сообщении #250494 писал(а):

$1+2+3+...+...=-\dfrac{1}{12}$. Доказал Эйлер.
$1^2+2^2+3^2+...+...=0$.

Так множества должны быть несчётными.
Как понимать эти суммы???

[jetyb]

Пусть $A$ - наше несчетное множество чисел. Без ограничения общности считаем, что эти числа не превосходят единицу. $A=\bigcup\limits_{N}A_n$, где $A_ n=\{x\in A: \frac{1}{n}\leq x<\frac{1}{n+1}\}. $Поскольку $A$ несчетно, то найдется $A_i $, в котором содержится бесконечное число элементов, значит сумма элементов множества $A_i$ бесконечна.

[Виктор Викторов]

age в сообщении #250494 писал(а):

$1+2+3+...+...=-\dfrac{1}{12}$. Доказал Эйлер.
$1^2+2^2+3^2+...+...=0$.

Это два расходящихся ряда. Откуда Вы взяли эти результаты?

Sasha2 в сообщении #250490 писал(а):

Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?
Можно ли вообще определить корректно такое сложение?

Думаю, что корректно и разумно такое сложение определить нельзя.

[AD]

Sasha2 в сообщении #250490 писал(а):

Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?Можно ли вообще определить корректно такое сложение?

Я лично не слышал о таких штуках. Вы можете попытаться точно сформулировать, какими свойствами должна обладать такая сумма, и тогда можно будет давать ответы на Ваши вопросы.

Ну, например, вот конкретная формулировка: мы будем пытаться определять сумму любого множества неотрицательных слагаемых так, чтобы
1. если из них лишь счетное число отлично от нуля, то получалась бы обычная сумма ряда, и
2. сумма всех слагаемых не меньше суммы некоторых слагаемых (то есть подмножества).
Требования вроде бы естественны, но даже из них уже понятно, что сумма несчетного числа положительных слагаемых всегда будет $+\infty$. upd: Что только что и продемонстрировал jetyb.

[gris]

Можно и так Вас понять :
множество $\{1;2\}\bigcup (-2;-1)$ несчётно. "Сумма всех положительных чисел, являющихся элементами этого несчетного множества," равна $3$

[ИСН]

(да, да, я понял, что слева имелись в виду квадратные скобочки)
Это Вы как определили? Через сокращение подобных по биекции? Так-то его можно свести к чему угодно от $-\infty$ до $+\infty$

[gris]

нет, это фигурные скобочки. обозначают множество из двух чисел

[Sasha2]

Ну хорошо, нельзя.
Тогда можно ли определить, например частное суммы всех чисел в промежутке от 1 до 2 и в промежутке от 2 до 3.
Если исходить из док-ва jetby, получается что частное всех [1, 2] / [2, 3] и [2, 3]/[1, 2] обе равны бесконечности.

[ИСН]

Sasha2: такое, наверное, можно попытаться как-то гладко определить.

gris в сообщении #250514 писал(а):

нет, это фигурные скобочки. обозначают множество из двух чисел

Тьфу, извините, не догнал сразу. Положительных, ага. Один чёрт.

[Maslov]

Виктор Викторов в сообщении #250502 писал(а):

age в сообщении #250494 писал(а):
$1+2+3+...+...=-\dfrac{1}{12}$. Доказал Эйлер.
$1^2+2^2+3^2+...+...=0$.

Это два расходящихся ряда. Откуда Вы взяли эти результаты?

Р.Пенроуз в книге The Road to Reality (4.3) ссылается на Эйлера и утверждает, что тот иногда записывал суммы расходящихся рядов в виде:
$1 + 2^2 + 2^4 + 2^8 + ... = (1 - 2^2)^{-1} = -\frac{1} {3}$
(формально подставляя показатель $2^2$ в формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии с показателем < 1)
Далее Пенроуз пишет, что в физике, например, в квантовой теории поля, из подобных манипуляций с расходящимися рядами можно иногда получить достаточно аккуратные решения.

ЗЫ. Не пинайте - за что купил, за то и продаю.

[Виктор Викторов]

Уважаемый Максим Маслов!

Сумма ряда определяется как предел последовательности частичных сумм. Необходимым условием стремления оной последовательности к конечному пределу является стремление общего члена ряда к нулю. Именно по этому вышеуказанные ряды расходятся. К сожалению, я не изучал квантовую теорию поля, но советую Вам подставить $2^2$ в формулу для частичных сумм и попытаться рассмотреть предел. Уверяю Вас, что после этого Вы поймёте за что Вы этот бред купили.

[Xaositect]

Ну, справедливости ради, есть теория обобщенного суммирования расходящихся рядов. Правда, если ряд расходится к $+\infty$, то любая обобщенная сумма тоже должна расходиться к $+\infty$

[Maslov]

Уважаемый Виктор Викторов
Я никоим образом не утверждаю, что сумма указанного расходящегося ряда действительно равна -1/3. Единственная цель моего поста - указать источник (причем, на мой взгляд, достаточно авторитетный), в котором Эйлеру приписывается подобное обращение с расходящимися рядами.