Math Hacks (техника быстрых устных вычислений)

[Proghat]

Хотелось бы собрать различные "фишки", помогающие, например, быстро устно считать или быстро возводить в квадрат любое число и т.п.

Прошу поделиться, если кто знает о таких.

[gris]

Калькулятор лучшая фишка.

Зачем нужно устно возводить в квадрат? Складывать и вычитать ещё куда ни шло - при покупке товаров в ларьке может пригодиться.
Лучше развивайте умение логически мыслить.

[Proghat]

Способ извлечь квадратный корень

Для начала нужно точно знать, что корень из этого числа - целое число.

Рассмотрим способ на примере. Пусть нам нужно найти $\sqrt{1296}$.

1. Заметить, что $30^2(=900)\le1296\le40^2(=1600)$.
2. Определить однозначное число, последняя цифра квадрата которого равна последней цифре исходного числа. В примере это 4 и 6.
3. Проверить число $34^2$ и $36^2$ и выбрать подходящее.

А лучше всего помнить квадраты чисел.

[meduza]

Гуглите "техника быстрых вычислений" и т.п. Если хорошая память, то можно пойти другим путем -- например, выучить таблицу умножения 100x100 или таблицу логарифмов... Некоторые "эстрадные вычислители" так и делали.

[Proghat]

gris в сообщении #250128 писал(а):

Зачем нужно устно возводить в квадрат?

Например мне, умение быстро возводить в квадрат и извлекать корень может сильно помочь при сдаче ЦТ для поступления в ВУЗ.

[Maslov]

Квадраты чисел, оканчивающихся на 5:
$(10n+5)^2 = 100n(n+1) + 25$
Т.е., количество десятков умножаем на (количество десятков + 1) и приписываем справа 25

[maxal]

Про извлечение квадратных корней - тут: topic4987.html

[meduza]

Maslov
Таким методом можно не только находить квадраты 15,...,95, но и вообще, умножать любые 2-хзначные числа, первые цифры которых одинаковы, а вторые дают в сумме 10:
$(10n+k)(10n+(10-k))=100n(n+1)+10(n-1)k-10nk-k^2=$
$=100n(n+1)-10k-k^2=100n(n+1)+k(10-k),$
например $63\cdot67=4221$.

Также полезно бывает умножение (деление) на 5 заменять умножением (делением) на $\frac{10}2$, т. к. часто разделить (умножить) на 2 легче. Также умножение на 15 -- это прибавление половины. Умножение на 25 -- деление на 4 и умножение 100 и т. п.

Таких способов уйма, есть книги, где они собраны воедино. У меня дома лежит древняя "Техника элементарных вычислений" Березина, но в инете подобных книг завались...

[Профессор Снэйп]

Maslov в сообщении #250144 писал(а):

Квадраты чисел, оканчивающихся на 5:
$(10n+5)^2 = 100n(n+1) + 25$
Т.е., количество десятков умножаем на (количество десятков + 1) и приписываем справа 25

Ага, тоже про это вспомнил.

Про тригонометрию. Достаточно помнить, что $\cos \varphi = (e^{i\varphi} + e^{-i\varphi})/2$ и $\sin \varphi = (e^{i\varphi} - e^{-i\varphi})/2i$, все тригонометрические тождества выводятся отсюда быстро и просто. Например,

$$ \sin 2\varphi = \frac{e^{2i\varphi} - e^{-2i\varphi}}{2i} = \frac{(e^{i\varphi} + e^{-i\varphi})(e^{i\varphi} - e^{-i\varphi})}{2i} = 2 \sin \varphi \cos \varphi $$

и остальное в том же духе.

[Maslov]

meduza в сообщении #250159 писал(а):

Maslov
Таким методом можно не только находить квадраты 15,...,95, но и вообще, любые 2-хзначные числа, первые цифры которых одинаковы, а вторые дают в сумме 10

Спасибо. Век живи...
Кстати, не только двухзначные. Просто умножать сложнее.

[jetyb]

Вспоминаются такие приемы:
$1007\cdot 1007=1000000+1400+49=1001449$
$988\cdot 988=(988+12)\cdot (998-12)+12^2=1000\cdot 976+144=976144$
И еще для умножения разных чисел:
$(a-b)(a-c)=(a-b-c)a+bc$
$986\cdot 997=(986-3)\cdot 1000+3\cdot 14=983042$
И еще:
Пусть $x,y$ имеют $2n$ цифр. Разобьем их на два блока по $n$ цифр:
$x=10^nx_1+x_0 $ , $y=10^ny_1+y_0$
Тогда
$xy=(10^2n+10^n)x_1y_1+10^n(x_1-x_0)(y_0-y_1)+(10^n+1)x_0y_0$
Здесь вместо $4n^2$ операций поразрядного умножения проводится $3n^2$ операций.

[Алексей К.]

142857143 легко умножается на любое другое 9-значное число.
Ну типа "напишите каждый на листочке 9-значное число, сразу напишу их произведение; пузырик" (с одним, ясное дело, заранее договариваешься).

[Профессор Снэйп]

Алексей К. в сообщении #250187 писал(а):

Ну типа "напишите каждый на листочке 9-значное число, сразу напишу их произведение; пузырик"

Какой ещё "пузырик"

[Алексей К.]

ну я так делал: ошибусь или не уложусь в 60 сек. --- пузырик с меня, справлюсь --- с вас.

[Профессор Снэйп]

Алексей К. в сообщении #250187 писал(а):

142857143 легко умножается на любое другое 9-значное число.

А я не знаю, как это делается. В чём прикол?

Пузырик при встрече (если она когда-нибудь состоится) обещаю. В качестве платы за науку