Помогите решить интеграл

[warezhunter_]

Помогите пожалуйста решить интеграл вида:
$\int xe^{-x-\frac{x^2}{2}}dx$
я делаю замену через $t$ степень $e$, ($t=-x-\frac{x^2}{2}$) и не могу выразить оттуда $x$

[gris]

Записывается так:

$$\int xe^{-x-\frac {x^2}{2}}dx$$

Если выражению добавить и вычесть $e^{-x-\frac {x^2}{2}}$, то интеграл разобьётся на два, один из которых берётся Вашей заменой, а второй сводится к

$$\int e^{-t^2}dt$$

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Возвращено (АКМ)

[warezhunter_]

gris в сообщении #249708 писал(а):

Записывается так:

$$\int xe^{-x-\frac {x^2}{2}}dx$$

Если выражению добавить и вычесть $e^{-x-\frac {x^2}{2}}$, то интеграл разобьётся на два, один из которых берётся Вашей заменой, а второй сводится к

$$\int e^{-t^2}dt$$

Если добавить и вычесть $e^{-x-\frac {x^2}{2}}$, чего дальше получится, можно объяснить поконкретнее как два интеграла получаются?

Не знаю, правильно я думаю или нет, но получается следующее выражение:
$\int (xe^{-x-\frac {x^2}{2}}+e^{-x-\frac {x^2}{2}}-e^{-x-\frac {x^2}{2}})dx$
Дальше ничего никуда не выносится, если сделать так:
$\int (e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)-e^{-x-\frac {x^2}{2}})$
или так:
$\int (e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x-1)+e^{-x-\frac {x^2}{2}})$
То получаем практически то же самое выражение, если еще не сложнее.

[gris]

$\int (e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)-e^{-x-\frac {x^2}{2}})dx=$
$\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)dx-\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}dx=$
$\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}(\frac {x^2}{2}+x)'dx-\int e^{-\frac12-x-\frac {x^2}{2}+\frac12}dx=...$

[warezhunter_]

gris в сообщении #249754 писал(а):

$\int (e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)-e^{-x-\frac {x^2}{2}})dx=$
$\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)dx-\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}dx=$
$\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}(\frac {x^2}{2}+x)'dx-\int e^{-\frac12-x-\frac {x^2}{2}+\frac12}dx=...$

Спасибо, все понятно, только не понятно это:
$(\frac {x^2}{2}+x)'dx$
Тут чего, производная?

[gris]

$(\frac {x^2}{2}+x)'dx=-d(-\frac {x^2}{2}-x)=-dt$

[AKM]

Может, так понятнее:
Если $y=-x-x^2/2$, то $\dfrac{dy}{dx}=-1-x=-(1+x),\quad dy=-(1+x)dx.$
Если $t=-x-x^2/2$, то $\dfrac{dt}{dx}=-1-x=-(1+x),\quad dt=-(1+x)dx,\quad dx=-\dfrac{dt}{x+1}.$

[warezhunter_]

С этим то понятно, теперь не понятно дальше:
$\int e^{-\frac12-x-\frac {x^2}{2}+\frac12}dx=$
Зачем $\frac12$ сначало вычитать, а потом прибавлять?

[Dementor]

Последнее легко приводится к интегралу Пуассона.

-- Ср окт 07, 2009 15:57:53 --

2gris: там надо на

$$$\int e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$$

исправить.

[gris]

$\int e^{-\frac12-x-\frac {x^2}{2}+\frac12}dx=$
$\int e^{-\frac12 (x+1)^2+\frac12}dx=$
$e^{1/2}\int e^{-\frac12 (x+1)^2}d(x+1)=$
$e^{1/2}\int e^{-\frac {t^2}2}dt$
что есть Интеграл Пуассона, как и сказал Dementor

Однако же Вы сами старайтесь тоже участвовать, а то попадётся на контрольной похожий интеграл.
Главное - умение видеть известные интегралы, прячущиеся в задании, и приводить к ним заданные. Умение видеть замены и подстановки. Чувствовать, когда можно по частям интегрировать.
Приходит с опытом. Так что решайте побольше.

[warezhunter_]

gris
Спасибо большое!

[warezhunter_]

И все равно неправильно, интеграл Пуассона тут брать нельзя, так как он выглядит так:
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$
Он является определенным, и неопределенные интегралы искать при помощи него нельзя.
Но это уже неважно, решение этого примера мне уже не нужно.