Доказать что рекуррентная последовательность ограничена?

[ИС]

Подскажите пожалуйста, как доказать, что последовательность ограничена?

$ x_n = \sqrt{2 + x_{n-1}}$
$x_1 = \sqrt{2}$

я без идей

[ИСН]

Они все меньше двойки, потому что если первый меньше двойки (а он меньше), то и второй тоже, и третий...

[JollyRoger]

ИС, перейдите к пределу в обоих частях равенства $ x_n = \sqrt{2 + x_{n-1}}$. От того, какое $ x_1 $ (если $ x_1 $ > -2, естественно) не зависит предел, поэтому я и стёр сообщение.

P.S. Извиняюсь, от $ x_1 $ зависит будет ли стремиться последовательность к пределу справа или слева.

[ewert]

ИС в сообщении #248997 писал(а):

я без идей

Идея такая. Интерпретируем эту последовательность как последовательные приближения для решения уравнения $x=\sqrt{2+x}$. Рисуем графики и соотв. лесенку и убеждаемся в том, что последовательность обязана возрастать, но не шибко -- не далее корня того уравнения. Ну а потом (после того, как всё стало ясно) -- обосновываем всё это формально.

[ИС]

Точняк!
1) $(x_1 = \sqrt{2}) < 2$
2) следует из 1) $(x_2 = \sqrt{2+ x_1}) < (\sqrt{2+2} = 2)$
3) следует из 2) $(x_3 = \sqrt{2 + x_2})< (\sqrt{2+2} = 2) $

и вообще допустим $x_n < 2$ тогда

по определению$ x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$, а из предположения $x_n<2 $ следует что
$\sqrt{2 + x_n} < (\sqrt{2+2}=2)$. Т.е. из $x_n <2$ следует что $x_{n+1} < 2$. И из этого всего ясно что $x_k < 2 $ при любых натуральных k.

В моем доказательстве нет грубых ошибок?

-- Вс окт 04, 2009 19:58:49 --

Так
идею ИСН'а добил...
спасибо ему огромное, все сразу стало ясно )

JollyRoger
не понял что вы имели в веду... раскажите по подробей, оч интересно =)

ewert
Спасибо! С графиками красиво получается

[PAV]

ИС в сообщении #249016 писал(а):

В моем доказательстве нет грубых ошибок?

Ошибок вообще не вижу, все правильно и аккуратно написано.

[ewert]

ИС в сообщении #249016 писал(а):

JollyRoger
не понял что вы имели в веду...

Он имел "в веду", что справа от двойки последовательность будет, наоборот, убывающей -- но с тем же эффектом.

[ИС]

так ... еще раз

что означает

JollyRoger в сообщении #249009 писал(а):

ИС, перейдите к пределу в обоих частях равенства $ x_n = \sqrt{2 + x_{n-1}}$.

?

и что мне это даст?

[ewert]

ИС в сообщении #249028 писал(а):

и что мне это даст?

Вроде и ничего, но. Типичные последовательности -- в той или иной степени монотонны. И если они ограничены -- значит, ограничены своим пределом. Вот на пределе этой последовательности он и предлагал Вам сконцентрироваться. Как на наводящем соображении.

[gris]

Если выписать члены последовательности подряд
$\sqrt {2}$
$\sqrt {2+\sqrt {2}}$
$\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2}}}$
$\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2}}}}$
$\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2}}}}}$
...
то ежу будет понятно, что последовательность возрастает.
Ещё можно натянуть на эти точки функцию, продифференцировать и убедиться, что производная больше нуля.

[ИСН]

Ещё (ещё одно ещё) для них явная формула через косинусы есть, но это неважно.

[gris]

ИСН, Ещё (ещё одно ещё) - это рекурсивная формула?

[ИСН]

Как сказать... Я над этим подумаю, только сначала мне надо над этим подумать.

[Алексей К.]

Я просто в лес ходил (в сторону Дракино, за рядовками), и что, за это время метод матиматической индукции отменили?
Помню, и раньше его многие за что-то не любили...

[gris]

Все члены последовательности больше нуля.
$x_{n+1}^2=2+x_n$
$x_n^2=2+x_{n-1}$

$(x_{n+1}+x_n)(x_{n+1}-x_n)=(x_n-x_{n-1})$

Отсюда следует, что разность между соседними членами сохраняет знак.

А Вы говорите - идей нет.
А можно ещё рассмотреть отношение соседних членов.

А индукция -у ИСН самая настоящая.

Ой! Надо же ограниченность доказывать, а не возрастание! Тогда пардон.

Хотя по Д"Аламберу ряд из разностей сходится