Рациональные приближения специального вида

[lofar]

Мерой иррациональности числа $\alpha\in\mathbb R$ называется точная нижняя грань чисел $\mu$ таких, что для любого $\varepsilon > 0$ неравенство

$$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\geqslant\frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}}$$

выполняется для достаточно больших $q$. Мера иррациональности дает оценку того насколько хорошо $\alpha$ приближается рациональными числами.

Мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2 (теорема Дирихле). Мера иррациональности любого алгебраического числа равна 2 (теорема Рота).

Интересно, есть ли какие-нибудь результаты относительно рациональных приближений, для дробей специального вида? Например, есть ли оценки для

$$\left|\alpha-\frac{p^2}{q}\right|, \left|\alpha-\frac{p}{q^2}\right|, \left|\alpha-\frac{p}{2^q}\right|,$$

и т. п.?

[RIP]

Ну, кое-какие результаты есть. Из известных мне:
Про $|\alpha-p/q^2|$ и $|\alpha-p^2/q|$ (на самом деле это одна и та же задача) можно почитать введение в этой работе (и дальше по ссылкам; кстати, я не уверен, но вроде бы в результате этой работы можно утверждать, что хаусдорфова размерность искомого множества равна 1 (если не забуду, то уточню у автора)).
Про $|\alpha-p/2^q|$ и т.п. для алгебраического $\alpha$ есть обобщение теоремы Рота --- теорема Риду. Немного можно найти здесь в пункте 2.1. Также можно почитать в работе Малера: K. Mahler, On the fractional parts of the powers of a rational number II, Mathematika 4 (1957), 122-124. Есть много работ с произвольными $\alpha$, но я не особо в теме. Можете попробовать почитать это и дальше по ссылкам.

[maxal]

RIP
А есть ли результаты алгоримического плана - например, как искать хорошие приближения вида $\frac{p}{q^2}$ к заданному числу $\alpha$?

[RIP]

maxal в сообщении #248585 писал(а):

А есть ли результаты алгоримического плана - например, как искать хорошие приближения вида $\frac{p}{q^2}$ к заданному числу $\alpha$?

Не знаю.

[lofar]

RIP, спасибо за ценные ссылки.

Из теоремы Риду, насколько я понял, следует, что для любого алгебраического иррационального $\alpha$ и $\varepsilon >0$ неравенство

$$ \left|\alpha-\frac{p}{2^q}\right|<\frac{1}{2^{q(1+\varepsilon)}} $$

имеет конечное число решений. Это красиво. Неформально говоря, 2-ичная мера иррациональности любого алгебраического иррационального числа равна $1$. Результат получаемый наивным применением теоремы Рота много слабее -- $1/2^{q(2+\varepsilon)}$.

Интересно, верно ли, что для любого иррационального числа неравенство

$$ \left|\alpha-\frac{p}{2^q}\right|<\frac{1}{2^{q(2+\varepsilon)}}\qquad (*) $$

имеет конечное число решений? Если у (*) бесконечно много решений, то по теореме Лежандра, все они (за исключением быть может конечного числа) являются подходящими дробями для $\alpha$. Нельзя ли выудить что-нибудь из этого?

[ИСН]

Зачем удить? Это же просто цифры двоичной записи. Очень запросто можно построить что угодно.
1.10100010000010000000000000000000100000000000000000000...
ну и как-то так далее.

[RIP]

И вообще, для произвольных последовательностей вещественных чисел $q_n$ и $\epsilon_n>0$, если посл-ть $q_n$ неограниченная, то существует континуум вещественных чисел $\alpha$, для которых неравенство $\|q_n\alpha\|<\epsilon_n$ имеет бесконечное число решений.

[lofar]

Верно, написал не подумав.
На самом деле, я подбивал клинья под $\pi$. Ограничение с 2-й степенью кажется сильным. Может быть можно как-то просто доказать, что $|\pi-p/2^q|<1/2^{2q}$ имеет конечное число решений?