Объём фигуры вращения

[LaraKroft]

Подскажите, пожалуйста, как составить интеграл, чтобы вычислить объём фигуры, образованный вращением "петли" декартового листа $x^3+y^3-3axy=0$ вдоль его оси симметрии $y=x$.

Заранее благодарна!

[gris]

Проще повернуть лист вокруг начала координат так, чтобы его вершина лежала на одной из осей. А потом найти объём тела вращения вокруг этой оси с помощью однократного интеграла.

-- Вт сен 29, 2009 22:28:40 --

Ну то есть перейти к координатным осям $y=x$ и $y=-x$

[LaraKroft]

В декартовых координатах у меня не получается составить интеграл. В полярных же координатах (с углами $x+\frac{\pi}{4}$) по формуле $V_\rho = \frac{2\pi}{3}\int\limits_\alpha ^\beta{{\rho ^3}\sin \varphi \,d\varphi } $) получается что-то очень жуткое.

Может быть легче вычислить через тройной интеграл??

[gris]

Сделайте замену
$x=(x+y)/\sqrt2$
$y=(x-y)/\sqrt2$