Топологические вложения банаховых пр-в и сопряженные

[id]

Разбираю одну статью, попутно возникла нужда в примере, который авторы имели ввиду, но не привели. А именно:

Пусть $F, E$ - банаховы пространства относительно норм $\| \cdot \|_{F}, \ \| \cdot \|_{E}$ соответственно, при этом пространство $E$ топологически вложено в $F$, т.е. является линейным подпространством и $\forall x \in E \ \| x \|_{F} \leqslant C\| x \|_{E}$.
Пусть, далее, $E$ плотно в $F$ относительно нормы $\| \cdot \|_{F}$.

Привести пример таких $E,F$, что вдобавок к этому $F^*$ не плотно в $E^*$.

[terminator-II]

id в сообщении #247591 писал(а):

Разбираю одну статью, попутно возникла нужда в примере, который авторы имели ввиду, но не привели. А именно:

Пусть $F, E$ - банаховы пространства относительно норм $\| \cdot \|_{F}, \ \| \cdot \|_{E}$ соответственно, при этом пространство $E$ топологически вложено в $F$, т.е. является линейным подпространством и $\forall x \in E \ \| x \|_{F} \leqslant C\| x \|_{E}$.
Пусть, далее, $E$ плотно в $F$ относительно нормы $\| \cdot \|_{F}$.

Привести пример таких $E,F$, что вдобавок к этому $F^*$ не плотно в $E^*$.

я бы попробовал что-нибудь в таком роде.
Пусть $E$ это пространство аналитических в $S=\{x+iy|0< x< 1,\quad |y|<1\}$ и непрерывных в $\overline{S}$ функций c нормой равномерной сходимости, и еще эти функции переводят действительные числа в действительные; $F=L^2[0,1]$. Вложение $u:E\to F$ определим так: если $f(x+iy)\in E$ то $u(f)=f(x)$.
Вот можно ли к функционалу $\psi(f)=f(i),\quad \psi \in E^*$ дотянуться из $(L^2[0,1])^*=L^2[0,1]$. Думаю, что нельзя.

[leshik]

Можно например так: $E=l_1$, $F=l_2$. Т.к $E^*=l_{\infty}$ несепарабельно оно не может содержать сепарабельное $F^*=l_2$ как плотное множество

[id]

Ага, что-то сам забыл о том, что что-то такое придумывал

id в сообщении #233180 писал(а):

$c_0^* = l_1$
$l_1^* = l_{\infty}$
$c_0$ - сепарабельно.

Вложение непрерывно.

Всем спасибо!