квадратное уравнение над полем Галуа

[gris]

Некая восьмиклассница, а вернее её старшая сестра, задала вопрос.

Цитата:

в общем тут у нас конечная арифметика с модулями и полями Галуа.

решить квадратное уравнение с коэффициентом в поле вычетов F 5 ( модуль 5)

$$x^2+2x-1=0$$

можешь мне алгоритм назвать?

Можно ли это объяснить восьмикласснице? Действительно ли они такое могут проходить? Не смеются ли девушки? Я чего-то плохо соображаю. Прошу помочь.

[Xaositect]

gris в сообщении #247276 писал(а):

Прошу помочь.

Да как обычно, выделяете полный квадрат:

$$(x+1)^2 = 2$$

И замечаете, что решений нет, ибо $x^2\equiv 0,1,-1 (\textrm{mod} 5)$

Еще перебором можно.

[gris]

Спасибо. То есть фактически только перебор? Дискриминант там никакого смысла не имеет?
А если уравнение $x^2+3x+1=0$?
Заменить на $x^2-(p-3)x+1=0$?

[Xaositect]

Можно и через дискриминант, вывод формулы корней в любом поле можно провести.
Просто тут не так просто корень извлечь.

-- Пн сен 28, 2009 20:44:46 --

gris в сообщении #247298 писал(а):

А если уравнение $x^2+3x+1=0$?
Заменить на $x^2-(p-3)x+1=0$?

Ну да, $3=-2$

[gris]

Ну и ещё. Если $3x^2-2x+2=0$ над F5, то уже только перебор?

[Xaositect]

Перебор - это хорошо, но неинтересно
$3x^2 - 2x + 2 = -2x^2 - 2x +2 = -2(x^2+x-1) = -2(x^2 - 4x + 4) = -2(x-2)^2$

[gris]

А теперь сам над F7:

$3x^2 - x + 1 = -4x^2 +6x - 6= -2(2x^2+3x-3) = -2(2x^2 - 4x + 4) = -4(x-1)^2+4$
Или же $3x^2 - x + 1 = 3x^2 +6x - 6= 3(x^2+2x-2) = ...$

Xaositect, спасибо, теперь понятно стало.

[Mathusic]

gris в сообщении #247316 писал(а):

А теперь сам над F7:

$3x^2 - x + 1 = -4x^2 +6x - 6= -2(2x^2+3x-3) = -2(2x^2 - 4x + 4) = -4(x-1)^2+4$
Или же $3x^2 - x + 1 = 3x^2 +6x - 6= 3(x^2+2x-2) = ...$

Xaositect, спасибо, теперь понятно стало.

Полe $\mathbb{Z}_{5}$ алгебраически не замкнуто. $\mathbb{Z}_p$ тоже (полином строится при использовании теоремы Ферма).