Правильны ли рассуждения:
1)Пусть Х - произвольное нехаусдорфово пространство.
Пусть Y - произвольное хаусдорфово пространство.
Рассмотрим отношение эквивалентности (на Х): точка x ~ y <=> если для любых непрерывных функций f из С(X,Y): f(x)=f(y). Т.е. точки эквивалентны, если не существует непрерывных функций, которые бы принимали различные значение на этих точках. Вроде все св-ва эквивалентности выполняются, я не ошибся?
2) Рассмотрим фактор-пространство X/~. Для доказательства одной теоремы мне важно, чтобы оно было хаусдорфово. Это вроде так и есть?
Если предположить, что оно нехаусдорфово, то тогда существуют две "точки" a,b из X/~, у которых любые их две окрестности пересекаются.
Любая непрерывная функция f из С(X,Y) определяется естественным образом и на X/~ и будет непрерывна, т.е. f лежит в С(X/~,Y).
Понятно, что из-за хаусдорфовости Y будет f(a)=f(b),
(Док-во: пусть f(a) не равно f(b). Т.к. Y - хаусдорфово, то существуют непересекающиеся окрестности O(f(a)) и O(f(b)). А так как f непрерывно, то существуют окрестности O(a) и O(b) такие, что
O(a)
O(f(a)) и O(b)
O(f(b)). Но O(a)
O(b)=V, причем V - не пусто по предположению выше. Значит f(V)
O(f(a))
O(f(b)). И мы приходим к противоречию. Это правильное доказательство?)
Итак, мы имеем, что f(а)=f(b) для любых функций f из С(X/~,Y). Но тогда классы эквивалентности a и b должны совпадать, и
a=b в X/~. Этим и доказано, что X/~ - хаусдорфово.
Если я правильно доказал, то получается, что для непрерывных отображений в отделимые пространства (хаусдорфовы) не важно, на каком пространстве они заданы, отделимом, или нет. Функции будут определяться на нем, как на отделимом (в в вышеуказанном смысле). Т.е. все "неотделимые" точки будут иметь один и тот же образ.
Впрочем, это, наверное, логично, что непрерывное отображение в отделимое пространство не различает "слипшиеся" точки в неотделимом.
