Центр группы GL_n(K)

[Mathusic]

Здравствуйте.
Натолкните на мысль пожалуйста.
Нужно доказать, что центр группы $\operatorname{GL_n(K)}$ есть множество скалярных матриц (вроде бы поле произвольное).
Понятно, что все невырожденные скалярные матрицы лежат в центре, а как доказать, что других нет?

[Хорхе]

Ну вот такое рассуждение: множество матриц, которые коммутируют с данной - линейное подпространство. Иными словами, матрицы из центра $GL_n(K)$ коммутируют со всеми матрицами из линейной оболочки $GL_n(K)$, а эта линейная оболочка - все квадратные матрицы (предлагаю доказать самостоятельно). Дальше доказательство стандартное: берем матрицы, в которых почти все элементы нули и делаем выводы.

[Mathusic]

Хорхе в сообщении #246687 писал(а):

Ну вот такое рассуждение: множество матриц, которые коммутируют с данной - линейное подпространство. Иными словами, матрицы из центра $GL_n(K)$ коммутируют со всеми матрицами из линейной оболочки $GL_n(K)$, а эта линейная оболочка - все квадратные матрицы (предлагаю доказать самостоятельно). Дальше доказательство стандартное: берем матрицы, в которых почти все элементы нули и делаем выводы.

Не совсем понял для чего Ваши рассуждения.
Нашёл как просто доказать
Утверждение
Матрица $A \in Mat_n(K)$ перестановочна со всеми матрицами $B \in Mat_n(K)$ тогда и только тогда, когда она является скалярной.

$\Leftarrow$ Очевидно.

$\Rightarrow$
Если $A$ искомая, то рассмотрим $B=\operatorname{diag}(1,1,...,1, \lambda,1,...,1)$ ($\lambda$ на $i$-м месте). Рассмотрев равенство $AB=BA \forall \lambda \in K$, занулим $i$-е строку и столбец (кроме диагонали). То есть $A$ диагональна. Дальше просто.

[Хорхе]

Мои рассуждения как раз для того, чтобы Вы могли применить найденное Вами утверждение

Впрочем, в этом доказательстве используются невырожденные матрицы, так что оно всяко проходит и для $GL_n(K)$.